Wiedemann-Franz-Gesetz

Wiedemann-Franz-Gesetz ist das Gesetz, das die thermische Leitfähigkeit (κ) und die elektrische Leitfähigkeit (σ) eines Materials, das aus relativ frei beweglichen Elektronen besteht, in Beziehung setzt.

• Thermische Leitfähigkeit (κ): Es ist das Maß für die Fähigkeit eines Materials, Wärme zu leiten.

• Elektrische Leitfähigkeit (σ): Es ist das Maß für die Fähigkeit eines Materials, Strom zu leiten.

In Metallen steigt bei Erhöhung der Temperatur die Geschwindigkeit der freien Elektronen, was zu einem Anstieg der Wärmeübertragung führt und auch die Kollisionen zwischen den Gitterionen und den freien Elektronen erhöht. Dies führt zu einem Rückgang der elektrischen Leitfähigkeit.

Das Gesetz definiert das Verhältnis des elektronischen Anteils an der thermischen Leitfähigkeit eines Materials zur elektrischen Leitfähigkeit eines Materials (Metall), das direkt proportional zur Temperatur ist.

Dieses Gesetz wurde nach Gustav Wiedemann und Rudolph Franz benannt, die 1853 berichteten, dass das Verhältnisfür verschiedene Metalle bei gleicher Temperatur etwa denselben Wert hat.

Ableitung des Gesetzes

Dazu müssen wir ein homogenes isotropes Material annehmen. Dieses Material wird dann einem Temperaturgradientenunterworfen. Die Richtung des Wärmeflusses wird entgegengesetzt zum Temperaturgradienten durch das leitende Medium sein. Der durch das Material pro Zeiteinheit und Flächeneinheit fließende Wärmebetrag ist der Wärmestrom. Er wird proportional zum Temperaturgradienten sein.

K → Wärmeleitfähigkeit (W/mK)
K = Kphonon + Kelectron; da die Wärmeübertragung in Festkörpern sowohl durch Phononen als auch durch Elektronen erfolgt.

Nun können wir den Ausdruck für die Wärmeleitfähigkeit ableiten. Dazu nehmen wir an, dass der Wärmefluss von höherer zu niedrigerer Temperatur in einer Metallscheibe mit einem Temperaturgradienten vonstattfindet.

cv → spezifische Wärmekapazität
n → Teilchenzahl pro Volumeneinheit
λ → mittlerer freier Weg der Kollisionen
v → Geschwindigkeit der Elektronen

Vergleich der Gleichungen (1) und (2) ergibt

Wir wissen, dass die Energie der freien Elektronen ist

Wir setzen Gleichung (4) in (3) ein

Die spezifische Wärmekapazität für ein ideales Gas bei konstantem Volumen,

Wenn wir Gleichung (8) in (6) einsetzen, erhalten wir

Als Nächstes betrachten wir die elektrische Stromdichte eines Metalls unter Anwendung eines elektrischen Feldes, E (Abbildung 1)
J = σ E ; Ohmsches Gesetz


Die korrekte Form des Ohmschen Gesetzes lautet

Es gibt einen mittleren freien Weg und eine mittlere Zeit zwischen den Kollisionen.

e → Ladung des Elektrons = 1,602 × 10-9 C
τ → Kollisionszeit oder mittlere Zeit: Es ist die durchschnittliche Zeit, die das Elektron benötigt, um sich zu bewegen, bevor es streut.
vd → Driftgeschwindigkeit: Es ist die durchschnittliche Geschwindigkeit des Elektrons während der Kollisionszeit.
Wenn wir Gleichung (11) in (10) einsetzen, erhalten wir die elektrische Leitfähigkeit (Drude-Leitfähigkeit) als

Betrachten wir die Elektronen, die sich in einem Metall ohne Anwendung eines elektrischen Feldes bewegen. Dann lautet das Theorem der Gleichverteilung

Aus Gleichung (13) erhalten wir m als

Nun setzen wir Gleichung (14) in (12) ein