قانون فرانز ویدمان

قانون ويدمان-فرانز هو القانون الذي يربط بين الموصلية الحرارية (κ) والموصلية كهربائية (σ) لمادة تحتوي على إلكترونات حرة نسبياً.

• الموصلية الحرارية (κ): هي درجة (قياس) قدرة المادة على توصيل الحرارة.

• الموصلية الكهربائية (σ): هي درجة (قياس) قدرة المادة على توصيل الكهرباء.

في المعادن؛ عندما ترتفع درجة الحرارة، تزداد سرعة الإلكترونات الحرة وهذا يؤدي إلى زيادة في نقل الحرارة ويؤدي أيضاً إلى زيادة التصادمات بين الأيونات الشبكية والإلكترونات الحرة. هذا يؤدي إلى انخفاض في الموصلية الكهربائية.

يحدد القانون نسبة الدور الإلكتروني للموصلية الحرارية للمادة إلى الموصلية الكهربائية للمادة (المعدن) مباشرة بالنسبة لدرجة الحرارة.

تم تسمية هذا القانون على اسم جوستاف ويدمان ورودولف فرانز الذين أبلغوا في عام 1853 أن النسبةلها قيمة متشابهة تقريباً لمعادن مختلفة عند نفس درجة الحرارة.

اشتقاق القانون

لهذا، علينا افتراض مادة متجانسة ومتناهية الصغر. ثم يتم تعريض هذه المادة لدرجات حرارة متدرجة. سيكون اتجاه تدفق الحرارة عكس اتجاه الدرجة الحرارية المتدرجة طوال الوسط الموصلي.
الحرارة التي تتدفق عبر المادة لكل وحدة زمن ولكل وحدة مساحة هي شدة الحرارة. ستكون متناسبة مع درجة الحرارة المتدرجة.

K → معامل الموصلية الحرارية (W/mK)
K = Kصوتون + Kإلكترون؛ بما أن نقل الحرارة في المواد الصلبة بسبب الصوتون والإلكترون.

الآن، يمكننا استنتاج التعبير عن معامل الموصلية الحرارية.
لهذا، يجب علينا افتراض أن تدفق الحرارة من درجة حرارة أعلى إلى درجة حرارة أقل في لوحة معدنية لها درجة حرارية متدرجة.

cv → السعة الحرارية النوعية
n → عدد الجسيمات لكل وحدة حجم
λ → المسار الحر المتوسط للتصادمات
v → سرعة الإلكترونات

مقارنة المعادلات (1) و (2)، نحصل على

نعلم أن الطاقة للإلكترونات الحرة هي

نضع المعادلة (4) في (3)

الآن، السعة الحرارية للغاز المثالي عند حجم ثابت،

عندما نضع المعادلة (8) في (6)، نحصل على

بعد ذلك، يمكننا النظر في كثافة التيار الكهربائي للمعدن بتطبيق حقل كهربائي، E (الشكل 1)
J = σ E ؛ قانون أوم


وبالتالي، فإن الصيغة الصحيحة لقانون أوم هي

هناك مسار حر متوسط وزمن متوسط بين التصادمات.

e → شحنة الإلكترون = 1.602 × 10-9 C
τ → زمن التصادم أو الزمن المتوسط: هو الوقت المتوسط للإلكترون للتحرك أو السفر قبل التشتت.
vd → سرعة الانجراف: هي السرعة المعيارية للإلكترون خلال زمن التصادم.
عندما نضع المعادلة (11) في (10)، نحصل على الموصلية الكهربائية (موصلية درود) ك

لنفترض أن الإلكترونات تتحرك في معدن دون أي تطبيق لحقل كهربائي. ثم يكون نظرية التوزيع المتساوي

من المعادلة (13) نحصل على m ك

الآن، نضع المعادلة (14) في (12)