قانون فايدمان-فرانز

قانون فيدمان-فرانز هو القانون الذي يربط بين الموصلية الحرارية (κ) والموصلية الكهربائية (σ) للمادة التي تحتوي على إلكترونات حرة نسبياً.

• الموصلية الحرارية (κ): هي درجة (قياس) قدرة المادة على توصيل الحرارة.

• الموصلية الكهربائية (σ): هي درجة (قياس) قدرة المادة على توصيل الكهرباء.

في المعادن؛ عندما ترتفع درجة الحرارة، تزداد سرعة الإلكترونات الحرة مما يؤدي إلى زيادة نقل الحرارة ويزيد أيضاً من التصادمات بين الأيونات البلورية والإلكترونات الحرة. وهذا يؤدي إلى انخفاض الموصلية الكهربائية.

يحدد القانون نسبة الدور الإلكتروني للموصلية الحرارية للمادة إلى الموصلية الكهربائية للمادة (المعدن) وهي مباشرة متناسبة مع درجة الحرارة.

تم تسمية هذا القانون نسبة إلى غوستاف فيدمان و رودولف فرانز الذين أبلغوا في عام 1853 أن النسبةلها قيمة متشابهة تقريباً لمعدن مختلف عند نفس درجة الحرارة.

اشتقاق القانون

لذلك، يجب علينا افتراض مادة متجانسة ومتساوية. ثم يتم تعريض هذه المادة لدرجة حرارة متدرجة. سيكون اتجاه تدفق الحرارة عكس اتجاه درجة الحرارة المتدرجة خلال الوسط الموصل.
سيكون التدفق الحراري عبر المادة لكل وحدة زمنية لكل وحدة مساحة هو التدفق الحراري. وسيكون متناسباً مع درجة الحرارة المتدرجة.

K → معامل الموصلية الحرارية (W/mK)
K = Kالفونون + Kالإلكترون؛ حيث يتم نقل الحرارة في المواد الصلبة بسبب الفونون والإلكترون.

الآن، يمكننا اشتقاق التعبير عن معامل الموصلية الحرارية.
لهذا، يجب علينا افتراض أن تدفق الحرارة يكون من درجة حرارة أعلى إلى درجة حرارة أقل في لوحة معدنية لها درجة حرارة متدرجة.

cv → السعة الحرارية النوعية
n → عدد الجسيمات لكل وحدة حجم
λ → المسار الحر المتوسط للتصادمات
v → سرعة الإلكترونات

من خلال مقارنة المعادلات (1) و (2)، نحصل على

نعلم أن طاقة الإلكترونات الحرة هي

نضع المعادلة (4) في (3)

الآن، السعة الحرارية النوعية للغاز المثالي عند حجم ثابت،

عند وضع المعادلة (8) في (6)، نحصل على

بعد ذلك، يمكننا النظر في كثافة التيار الكهربائي للمعدن بتطبيق حقل كهربائي، E (الشكل 1)
J = σ E ؛ قانون أوم


لذا، فإن الصيغة الصحيحة لـ قانون أوم هي

هناك مسار حر متوسط وزمن متوسط بين التصادمات.

e → شحنة الإلكترون = 1.602 × 10-9 C
τ → زمن التصادم أو الزمن المتوسط: إنه الزمن المتوسط لإلكترون للتحرك قبل التشتت.
vd → سرعة الانجراف: إنها السرعة القياسية للإلكترون خلال زمن التصادم.
عند وضع المعادلة (11) في (10)، نحصل على الموصلية الكهربائية (موصلية درود) كالتالي

لنفترض أن الإلكترونات تتحرك في معدن بدون تطبيق حقل كهربائي. ثم تكون نظرية التقسيم المتساوي كالآتي

من المعادلة (13) نحصل على m كالتالي

الآن، نضع المعادلة (14) في (12)