Wiedemann-Franz-wet

Wiedemann-Franz wet is de wet die de thermische geleidbaarheid (κ) en de elektrische geleidbaarheid (σ) van een materiaal verbindt dat vrij bewegende elektronen bevat.

• Thermische geleidbaarheid (κ): Het is de mate (maatstaf) van de capaciteit van een materiaal om warmte te geleiden.

• Elektrische geleidbaarheid (σ): Het is de mate (maatstaf) van de capaciteit van een materiaal om elektriciteit te geleiden.

In metalen neemt bij stijgende temperatuur de snelheid van de vrije elektronen toe, wat leidt tot een toename in warmteoverdracht en ook tot meer botsingen tussen de roosterionen en de vrije elektronen. Dit resulteert in een daling van de elektrische geleidbaarheid.

De wet definieert het verhouding van de elektronische rol van de thermische geleidbaarheid van een materiaal ten opzichte van de elektrische geleidbaarheid van een materiaal (metaal) als direct gerelateerd aan de temperatuur.

Deze wet is genoemd naar Gustav Wiedemann en Rudolph Franz, die in 1853 meldden dat de verhoudingongeveer dezelfde waarde heeft voor verschillende metalen bij dezelfde temperatuur.

Afleiding van de Wet

Daarvoor moeten we een homogeen isotroop materiaal aannemen. Dit materiaal wordt vervolgens blootgesteld aan een temperatuurgradiënt. De richting van de warmtestroom zal tegenovergesteld zijn aan die van de temperatuurgradiënt doorheen het geleidende medium. De warmte die door het materiaal per tijdseenheid per oppervlakte-eenheid stroomt, is de warmtestroomdichtheid. Deze zal evenredig zijn met de temperatuurgradiënt.

K → Coëfficiënt van thermische geleidbaarheid (W/mK)
K = Kphonon + Kelectron; aangezien de warmteoverdracht in vaste stoffen plaatsvindt door phononen en elektronen.

Nu kunnen we de uitdrukking voor de coëfficiënt van thermische geleidbaarheid afleiden. Daarvoor nemen we aan dat de warmtestroom van hogere naar lagere temperatuur gaat in een metalen plaat die een temperatuurgradiënt heeft van.

cv → Specifieke warmte
n → Aantal deeltjes per volume-eenheid
λ → Gemiddelde vrije padlengte van botsingen
v → Snelheid van elektronen

Door vergelijking van de vergelijkingen (1) en (2) krijgen we

We weten dat de energie van vrije elektronen is

We plaatsen vergelijking (4) in (3)

Nu, de specifieke warmte voor een ideaal gas bij constante volume,

Als we vergelijking (8) in (6) plaatsen, krijgen we

Vervolgens kunnen we de elektrische stroomdichtheid van een metaal overwegen met de toepassing van een elektrisch veld, E (figuur 1)
J = σ E ; Ohms wet


Dus, de juiste vorm van de Ohms wet wordt gegeven door

Er is een gemiddeld vrije pad en gemiddelde tijd tussen de botsingen.

e → Ladingswaarde van het elektron = 1.602 × 10-9 C
τ → Botsingstijd of gemiddelde tijd: Het is de gemiddelde tijd die het elektron nodig heeft om zich te verplaatsen voordat het verstrooit.
vd → Driftsnelheid: Het is de standaardsnelheid van het elektron tijdens de botsingstijd.
Als we vergelijking (11) in (10) plaatsen, krijgen we de elektrische geleidbaarheid (Drude geleidbaarheid) als

Overweeg de elektronen die zich in een metaal bewegen zonder de toepassing van een elektrisch veld. Dan wordt de equipartitietheorema gegeven door

Uit vergelijking (13) krijgen we m als