قانون ویدمان-فرانز

قانون ویدمان-فرانز قانونی است که رابطه بین رسانایی حرارتی (κ) و رسانایی الکتریکی (σ) یک ماده را که شامل الکترون‌های آزاد به حدودی در آن است، نشان می‌دهد.

• رسانایی حرارتی (κ): درجه (مقدار) توانایی یک ماده برای انتقال گرما است.

• رسانایی الکتریکی (σ): درجه (مقدار) توانایی یک ماده برای انتقال برق است.

در فلزات؛ هنگامی که دما افزایش می‌یابد، سرعت الکترون‌های آزاد افزایش می‌یابد و این منجر به افزایش انتقال گرما می‌شود و همچنین برخوردهای بین یون‌های شبکه و الکترون‌های آزاد افزایش می‌یابد. این باعث کاهش رسانایی الکتریکی می‌شود.

این قانون نسبت نقش الکترونی رسانایی حرارتی یک ماده به رسانایی الکتریکی یک ماده (فلز) را به طور مستقیم با دما مرتبط می‌کند.

این قانون به نام گوستاو ویدمان و رودولف فرانز در سال ۱۸۵۳ گزارش شد که نسبتبه طور تقریبی مقدار مشابهی برای فلزات مختلف در یک دما خاص دارد.

استخراج قانون

برای این منظور، ما باید یک ماده همگن و ایزوتروپیک را در نظر بگیریم. سپس این ماده به یک گرادیان دماتعرض می‌یابد. جهت جریان گرما در مقابل جهت گرادیان دما در تمام مسیر رسانا خواهد بود.
گرما جاری در ماده بر واحد زمان و واحد سطح، شار گرما است. این شار گرما متناسب با گرادیان دما خواهد بود.

K → ضریب رسانایی حرارتی (W/mK)
K = Kفونون + Kالکترون; چون انتقال گرما در مواد جامد به دلیل فونون و الکترون است.

حالا، ما می‌توانیم عبارت ضریب رسانایی حرارتی را استخراج کنیم.
برای این منظور، ما باید فرض کنیم که جریان گرما از دمای بالاتر به پایین‌تر در یک لایه فلزی که گرادیان دمادارد، جریان دارد.

cv → گرمای ویژه
n → تعداد ذرات بر واحد حجم
λ → مسیر آزاد میان برخوردها
v → سرعت الکترون‌ها

با مقایسه معادلات (1) و (2)، ما به دست می‌آوریم

ما می‌دانیم که انرژی الکترون‌های آزاد است

ما معادله (4) را در (3) قرار می‌دهیم

حالا، گرمای ویژه برای یک گاز ایده‌آل در حجم ثابت،

وقتی ما معادله (8) را در (6) قرار می‌دهیم، به دست می‌آوریم

بعداً، ما می‌توانیم چگالی جریان الکتریکی یک فلز را با اعمال میدان الکتریکی، E (شکل 1) در نظر بگیریم
J = σ E ; قانون اهم


بنابراین، فرم صحیح قانون اهم به صورت زیر است

یک مسیر آزاد میان برخوردها و زمان میان برخوردها وجود دارد.

e → بار الکترون = ۱.۶۰۲ × ۱۰-9 C
τ → زمان برخورد یا زمان میان برخوردها: این میانگین زمانی است که الکترون قبل از پراکندگی حرکت یا سفر می‌کند.
vd → سرعت نفوذ: این سرعت استاندارد الکترون در طول زمان برخورد است.
وقتی ما معادله (11) را در (10) قرار می‌دهیم، رسانایی الکتریکی (رسانایی درود) به دست می‌آید

الکترون‌هایی را در نظر بگیرید که بدون اعمال هیچ میدان الکتریکی در یک فلز حرکت می‌کنند. سپس قضیه توزیع انرژی به صورت زیر است