Lei de Wiedemann-Franz
Lei de Wiedemann-Franz é a lei que relaciona a condutividade térmica (κ) e a condutividade elétrica (σ) de um material que contém eletrões relativamente livres em movimento.
Condutividade Térmica (κ): É a medida da capacidade de um material para conduzir calor.
Condutividade Elétrica (σ): É a medida da capacidade de um material para conduzir eletricidade.
Nos metais, quando a temperatura aumenta, a velocidade dos elétrons livres aumenta, o que leva a um aumento na transferência de calor e também no número de colisões entre os íons da rede e os elétrons livres. Isso resulta em uma queda na condutividade elétrica.
A lei define que a razão entre a contribuição eletrônica da condutividade térmica de um material e a condutividade elétrica de um material (metal) é diretamente proporcional à temperatura.
Esta lei foi nomeada em homenagem a Gustav Wiedemann e Rudolph Franz, que em 1853 relataram que a razão
tem mais ou menos o mesmo valor para metais diferentes na mesma temperatura.
Derivação da Lei
Para isso, temos que assumir um material homogêneo e isotrópico. Este material é então submetido a um gradiente de temperatura
. A direção do fluxo de calor será oposta ao gradiente de temperatura através do meio condutor. O fluxo de calor por unidade de tempo e área é o fluxo de calor. Será proporcional ao gradiente de temperatura.
K → Coeficiente de condutividade térmica (W/mK)
K = Kphonon + Kelectron; pois a transferência de calor em sólidos se deve a phonons e elétrons.
Agora, podemos derivar a expressão para o coeficiente de condutividade térmica. Para isso, temos que assumir que o fluxo de calor vai de uma temperatura mais alta para uma temperatura mais baixa em uma lâmina de metal que tem um gradiente de temperatura de.
cv → Calor específico
n → Número de partículas por unidade de volume
λ → caminho livre médio das colisões
v → velocidade dos elétrons
Comparando as equações (1) e (2), obtemos
Sabemos que a energia dos elétrons livres é
Colocamos a equação (4) em (3)
Agora, o calor específico para um gás ideal a volume constante,
Quando colocamos a equação (8) em (6), obtemos
Em seguida, podemos considerar a densidade de corrente elétrica de um metal com a aplicação de campo elétrico, E (figura 1)
J = σ E ; Lei de Ohm
Portanto, a forma correta da Lei de Ohm é dada por
Há um caminho livre médio e um tempo médio entre as colisões.
e → Carga do elétron = 1.602 × 10-9 C
τ → Tempo de colisão ou tempo médio: É o tempo médio para o elétron se mover antes de sofrer uma colisão.
vd → Velocidade de Deriva: É a velocidade padrão do elétron durante o tempo de colisão.
Quando colocamos a equação (11) em (10), obtemos a condutividade elétrica (Condutividade de Drude) como
Consideremos os elétrons que se movem em um metal sem a aplicação de campo elétrico. Então, o teorema de equipartição é dado por
Da equação (13) obtemos m como
Agora, colocamos a equação (14) em (12)
