一次制御システムとは何か？（上昇時間、定常時間および伝達関数）

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フィールド: 基本電気

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一次制御システムとは

一次制御システムは、入出力関係（伝達関数とも呼ばれる）が一次微分方程式であるタイプの制御システムとして定義されます。一次微分方程式には一次導関数が含まれますが、それ以上の導関数は含まれません。微分方程式の次数は、方程式中に存在する最高次の導関数の次数です。

例として、以下の制御システムのブロック図を見てみましょう。

この制御システムの伝達関数（入出力関係）は以下のように定義されます。

$\begin{align*} \frac{C(s)}{R(s)} = K \frac{1}{Ts+1} \end{align*}$

ここで：

K は DC ゲイン（入力信号と出力の定常値の比）
T は時間定数（一次システムが単位ステップ入力にどのように反応するかを測る指標）

微分方程式の次数は、方程式中に存在する最高次の導関数の次数です。これを $s$ に関して評価します。

ここで $s$ は1次の導関数（ $s^1 = s$ ）なので、上記の伝達関数は一次微分方程式です。したがって、上記のブロック図は一次制御システムを表しています。

別の理論的な例として、伝達関数が以下の場合を考えます。

$\begin{align*} \frac{C(s)}{R(s)} = K \frac{1}{Ts^2+1} \end{align*}$

この例では、 $s$ は2次の導関数（ $s^2$ ）なので、伝達関数は二次微分方程式です。したがって、上記の伝達関数を持つ制御システムは二次制御システムとなります。

多くの実用的なモデルは一次システムです。高次のシステムでも一次モードが支配的であれば、一次システムとして扱うことができます。

エンジニアはシステムをより効率的かつ信頼性の高いものにするための技術を見つけようとします。制御システムには二つの方法があります。一つはオープンループ制御システムで、もう一つはクローズドループフィードバック制御システムです。

オープンループシステムでは、入力が指定されたプロセスに進められて出力を生成します。実際の出力が希望の出力にどれだけ近いかをシステムが「知る」ためのフィードバックはありません。

クローズドループ制御システムでは、システムは実際の出力が希望の出力からどの程度ずれているかをチェックすることができます（時間が無限大に近づくにつれて、この差異は定常誤差と呼ばれます）。この差異をフィードバックとしてコントローラに渡し、コントローラはこのフィードバックに基づいてシステムの制御を行います。

入力が単位ステップであれば、出力はステップ応答です。ステップ応答はシステムの過渡応答を明確に示します。私たちは第一種システムと第二種システムの二つのタイプがあり、これらは多くの物理システムを代表しています。

システムの一次は時間に対する一次導関数で、二次は時間に対する二次導関数です。

一次システムは、一つの積分器を持つシステムです。次数が増えるにつれて、システム内の積分器の数も増加します。数学的には、与えられた関数の時間に関する一次導関数です。

微分方程式やラプラス変換を使用してシステム方程式を解くさまざまな手法がありますが、エンジニアは方程式を解く技術を最小限に抑えて急な出力と作業効率を向上させる方法を見つけています。システムの全応答は強制応答と自然応答の和です。

強制応答はまた定常応答または特殊解とも呼ばれます。自然応答はまた同次方程式とも呼ばれます。