نظام التحكم من الدرجة الأولى: ما هو؟ (وقت الصعود، وقت الاستقرار ودالة التحويل)

ما هو نظام التحكم من الدرجة الأولى؟

يُعرَّف نظام التحكم من الدرجة الأولى بأنه نوع من أنظمة التحكم التي يكون فيها العلاقة بين المدخل والمخرج (وتُعرف أيضًا باسم دالة التحويل) معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى. تحتوي المعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى على مشتق من الدرجة الأولى، ولكن ليس هناك أي مشتقات أعلى من الدرجة الأولى. يُحدد درجة المعادلة التفاضلية بالمشتق الأعلى الموجود في المعادلة.

كمثال، لننظر إلى مخطط الكتلة لنظام التحكم الموضح أدناه.

يتم تعريف دالة التحويل (العلاقة بين المدخل والمخرج) لهذا نظام التحكم كما يلي:

حيث:

• K هي الكسب الثابت (الكسب الثابت للنظام هو نسبة الإشارة المدخلة إلى قيمة الإخراج المستقرة)

• T هي ثابت الوقت للنظام (ثابت الوقت هو قياس لكيفية استجابة النظام من الدرجة الأولى لخطوة وحدة)

تذكر أن درجة المعادلة التفاضلية هي درجة المشتق الأعلى الموجود في المعادلة. نقيم هذا بالنسبة لـ .

بما أن هنا هي من الدرجة الأولى ()، فإن دالة التحويل أعلاه هي معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى. وبالتالي فإن مخطط الكتلة أعلاه يمثل نظام تحكم من الدرجة الأولى.

في مثال نظري بديل، لنفترض أن دالة التحويل كانت تساوي:

في هذا المثال بما أن هي من الدرجة الثانية ()، فإن دالة التحويل هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية. وبالتالي فإن نظام التحكم الذي تكون له دالة التحويل أعلاه سيكون نظام تحكم من الدرجة الثانية.

معظم النماذج العملية هي أنظمة من الدرجة الأولى. إذا كان نظام ذو درجة أعلى يحتوي على وضع أساسي من الدرجة الأولى، يمكن اعتباره نظامًا من الدرجة الأولى.

يسعى المهندسون لإيجاد تقنيات لتكون الأنظمة أكثر كفاءة وموثوقية. هناك طريقتان للتحكم في الأنظمة. واحدة هي نظام التحكم المفتوح، والأخرى هي نظام التحكم المغلق ذو التغذية العكسية.

في النظام المفتوح، تتقدم الإدخالات إلى العملية المعطاة وتنتج إخراجًا. لا يوجد ردود فعل إلى النظام حتى يدرك النظام مدى قرب الإخراج الفعلي من الإخراج المرغوب.

في نظام التحكم المغلق، يتمكن النظام من التحقق من مدى انحراف الإخراج الفعلي عن الإخراج المرغوب (مع اقتراب الوقت من اللانهائي، يُعرف هذا الاختلاف بـ خطأ الحالة المستقرة). يمرر هذا الاختلاف كرد فعل إلى المتحكم الذي يتحكم في النظام. يقوم المتحكم بضبط تحكمه في النظام بناءً على هذا الرد.

إذا كان الإدخال خطوة وحدة، يكون الإخراج استجابة خطوة. تقدم استجابة الخطوة رؤية واضحة للرد الفوري للنظام. لدينا نوعان من الأنظمة، نظام من الدرجة الأولى ونظام من الدرجة الثانية، وهما يمثلان العديد من الأنظمة الفعلية.

يُعرَّف النظام من الدرجة الأولى بأنه المشتق الأول بالنسبة للزمن، والنظام من الدرجة الثانية هو المشتق الثاني بالنسبة للزمن.

نظام من الدرجة الأولى هو نظام يحتوي على متكامل واحد. كلما زادت الدرجة، زاد عدد المكاملات في النظام. رياضيًا، هو المشتق الأول للدالة المعطاة بالنسبة للزمن.

لدينا تقنيات مختلفة لحل معادلات الأنظمة باستخدام المعادلات التفاضلية أو تحويل لابلاس ولكن المهندسون وجدوا طرقًا لتقليل تقنية حل المعادلات للحصول على إخراج سريع وكفاءة عمل. الاستجابة الكلية للنظام هي مجموع الاستجابة القسرية والاستجابة الطبيعية.