מערכת הבקרה הראשונה: מה זה? (זמן עלייה, זמן התיישבות ופונקציית העברת)
מהו מערכת שליטה מסדר ראשון
מערכת שליטה מסדר ראשון מוגדרת כסוג של מערכת שליטה שהיחס בין הכניסה ליציאה שלה (ידוע גם כ-פונקציית תמסורת) הוא משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון. משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון מכילה נגזרת מסדר ראשון, אך אין בה נגזרות מסדר גבוה יותר מהראשון. סדר המשוואה הדיפרנציאלית הוא הסדר של הנגזרת הגבוהה ביותר המופיעה במשוואה.
כדוגמה, נתבונן בסכמת הבלוק של מערכת השליטה המוצגת להלן.
פונקציית התמסורת (יחס כניסה-יציאה) עבור מערכת השליטה הזו מוגדרת כך:
כאשר:
K הוא הגודל של ההספק החשמלי (היחס בין האות הכניסה לערך יציב של האות היציאה)
T הוא קבוע הזמן של המערכת (קבוע הזמן הוא מדד לתגובה המהירה של מערכת מסדר ראשון לתגובה של צעד יחידה)
זכרו כי סדר המשוואה הדיפרנציאלית הוא הסדר של הנגזרת הגבוהה ביותר המופיעה במשוואה. אנו מעריכים זאת בהתאם ל-
.
מאחר וכאן הוא בריבוי הראשון (
), פונקציית התמסורת לעיל היא משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון. לכן, סכמת הבלוק לעיל מייצגת מערכת שליטה מסדר ראשון.
בתור דוגמה תאורטית חלופית, נניח שפונקציית התמסורת הייתה שווה ל-
בדוגמה זו מאחר ו- הוא בריבוי השני (
), פונקציית התמסורת היא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני. לכן, מערכת שליטה עם פונקציית תמסורת כזו תהיה מערכת שליטה מסדר שני.
רוב המודלים הפרקטיים הם מערכות מסדר ראשון. אם למערכת מסדר גבוה יש מצב דומיננטי מסדר ראשון, ניתן להתייחס אליה כאל מערכת מסדר ראשון.
הנדסים מנסים למצוא טכניקות כדי להפוך את המערכות ליעילות ומדויקות יותר. קיימות שתי שיטות לשליטה במערכות. אחת היא מערכת שליטה פתוחה, והשנייה היא מערכת שליטה סגורה עם משוב.
במערכת פתוחה, הכניסות מתבצעות לתהליך הנתון ויוצרות יציאה. אין משוב חזרה למערכת כדי לדעת כמה קרובת היציאה הממשית ליציאה המבוקשת.
במערכת שליטה סגורה, המערכת מסוגלת לבדוק כמה רחוקה היציאה הממשית מהיציאה המבוקשת (כאשר הזמן מתקרב לאינסוף, ההבדל הזה ידוע כ-שגיאת מצב יציב). היא מעבירה את ההבדל הזה כמשוב ל-מפעיל המערכת שמפעיל את המערכת. המפעיל יתאים את הבקרה על המערכת בהתאם למשוב זה.
אם הכניסה היא צעד יחידה, היציאה היא תגובה בצורת צעד. התגובה בצורת צעד מציגה חזון ברור לתגובה המעברית של המערכת. יש לנו שני סוגים של מערכות, מערכת מסדר ראשון ומערכת מסדר שני, שמייצגות מספר גדול של מערכות פיזיות.
הסדר הראשון של המערכת מוגדר כנגזרת הראשונה לפי הזמן והסדר השני של המערכת הוא הנגזרת השנייה לפי הזמן.
מערכת מסדר ראשון היא מערכת שיש לה אינטגרטור אחד. ככל שהמספר של הסדר עולה, מספר האינטגרטורים במערכת עולה גם כן. מתמטית, זהו הנגזרת הראשונה של פונקציה נתונה לפי הזמן.
יש לנו טכניקות שונות לפתור משוואות מערכת באמצעות משוואות דיפרנציאליות או טרנספורמציה לפלאס אבל הנדסים מצאו דרכים לצמצם את הטכניקה של פתרון משוואות לתשובה פתאומית ויעילות עבודה. התגובה הכוללת של המערכת היא סכום התגובה הכפויה והתגובה הטבעית.
התגובה הכפויה מכונה גם התגובה במצב יציב או משוואה פרטית. התגובה הטבעית מכונה גם המשוואה ההומ
