Что такое матрица инцидентности?

Матрица инцидентности — это матрица, которая представляет граф таким образом, что с ее помощью можно нарисовать граф. Эту матрицу можно обозначить как [AC]. Как и в любой матрице, в матрице инцидентности [AC] также есть строки и столбцы.
Строки матрицы [AC] представляют количество узлов, а столбцы матрицы [AC] представляют количество ветвей в данном графе. Если в данной матрице инцидентности есть 'n' строк, это означает, что в графе есть 'n' узлов. Аналогично, если в данной матрице инцидентности есть 'm' столбцов, это означает, что в этом графе есть 'm' ветвей.

В приведенном выше графе или ориентированном графе есть 4 узла и 6 ветвей. Таким образом, матрица инцидентности для данного графа будет иметь 4 строки и 6 столбцов.
Элементы матрицы инцидентности всегда равны -1, 0, +1. Эта матрица всегда аналогична KCL (Закон Кирхгофа для токов). Таким образом, из KCL мы можем вывести, что,

Шаги построения матрицы инцидентности

Следующие шаги необходимы для построения матрицы инцидентности:

1. Если данный k-й узел имеет исходящую ветвь, то мы запишем +1.

2. Если данный k-й узел имеет входящую ветвь, то мы запишем -1.

3. Остальные ветви будут считаться 0.

Примеры матрицы инцидентности

Для приведенного выше графа напишите его матрицу инцидентности.

Сокращенная матрица инцидентности

Если из данной матрицы инцидентности [AC] удалена произвольная строка, то новая образованная матрица будет сокращенной матрицей инцидентности. Она обозначается символом [A]. Порядок сокращенной матрицы инцидентности составляет (n-1) × b, где n — количество узлов, а b — количество ветвей.
Для приведенного выше графа сокращенная матрица инцидентности будет следующей:

[ПРИМЕЧАНИЕ: В приведенной выше матрице удалена строка 4.]
Теперь рассмотрим новый пример, связанный с сокращенной матрицей инцидентности. Для приведенного выше графа напишите его сокращенную матрицу инцидентности.

Ответ: Чтобы нарисовать сокращенную матрицу инцидентности, сначала нужно нарисовать полную матрицу инцидентности. Полная матрица инцидентности следующая:

Теперь рисуем сокращенную матрицу инцидентности. Для этого нам просто нужно удалить любой узел (в этом случае мы удалили узел 2). Сокращенная матрица инцидентности следующая:

Это требуемый ответ.
Пункты для запоминания

• Для проверки правильности матрицы инцидентности, которую мы нарисовали, следует проверить сумму столбцов.

• Если сумма столбца равна нулю, то матрица инцидентности, которую мы создали, правильная, иначе — неправильная.

• Матрица инцидентности может быть применена только к ориентированным графам.

• Количество записей в строке, отличных от нуля, говорит нам о количестве ветвей, связанных с этим узлом. Это также называется степенью этого узла.

• Ранг полной матрицы инцидентности равен (n-1), где n — количество узлов графа.

• Порядок матрицы инцидентности составляет (n × b), где b — количество ветвей графа.

• Из данной сокращенной матрицы инцидентности мы можем нарисовать полную матрицу инцидентности, просто добавив +1, 0 или -1, при условии, что сумма каждого столбца должна быть равна нулю.

Источник: Electrical4u.

Заявление: Уважайте оригинал, хорошие статьи стоят поделиться, если есть нарушение авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.