Cosa è la matrice di incidenza?
Matrice di incidenza è quella matrice che rappresenta il grafo in modo tale che, con l'aiuto di tale matrice, possiamo disegnare un grafo. Questa matrice può essere denotata come [AC]. Come in ogni matrice, anche nella matrice di incidenza [AC] ci sono righe e colonne.
Le righe della matrice [AC] rappresentano il numero di nodi e le colonne della matrice [AC] rappresentano il numero di rami nel grafo dato. Se ci sono 'n' righe in una data matrice di incidenza, ciò significa che nel grafo ci sono 'n' nodi. Analogamente, se ci sono 'm' colonne in quella data matrice di incidenza, ciò significa che nel grafo ci sono 'm' rami.
Nel grafo o grafo diretto mostrato sopra, ci sono 4 nodi e 6 rami. Pertanto la matrice di incidenza per il grafo sopra avrà 4 righe e 6 colonne.
I valori della matrice di incidenza sono sempre -1, 0, +1. Questa matrice è sempre analoga a KCL (Legge di Kirchhoff delle Correnti). Pertanto, dalla KCL possiamo derivare che,
| Tipo di ramo | Valore |
| Ramo uscente dal nodo kesimo | +1 |
| Ramo entrante al nodo kesimo | -1 |
| Altri | 0 |
Passaggi per Costruire la Matrice di Incidenza
I seguenti sono i passaggi per disegnare la matrice di incidenza:
Se un dato nodo kesimo ha un ramo uscente, allora scriveremo +1.
Se un dato nodo kesimo ha un ramo entrante, allora scriveremo -1.
Gli altri rami saranno considerati 0.
Esempi di Matrice di Incidenza
Per il grafo mostrato sopra, scrivere la sua matrice di incidenza.
Matrice di Incidenza Ridotta
Se da una data matrice di incidenza [AC] viene eliminata qualsiasi riga arbitraria, allora la nuova matrice formata sarà la matrice di incidenza ridotta. È rappresentata dal simbolo [A]. L'ordine della matrice di incidenza ridotta è (n-1) × b, dove n è il numero di nodi e b è il numero di rami.
Per il grafo mostrato sopra, la matrice di incidenza ridotta sarà:
[NOTA: Nella matrice mostrata sopra, la riga 4 è stata eliminata.]
Ora consideriamo un nuovo esempio relativo alla matrice di incidenza ridotta. Per il grafo mostrato sopra, scrivere la sua matrice di incidenza ridotta.
Risposta: Per disegnare la matrice di incidenza ridotta, prima di tutto disegnare la sua matrice di incidenza. La sua matrice di incidenza è:
Ora disegnando la sua matrice di incidenza ridotta. Per questo, dobbiamo semplicemente eliminare qualsiasi nodo (in questo caso abbiamo eliminato il nodo 2). La sua matrice di incidenza ridotta è:
Questa è la risposta richiesta.
Punti da ricordare
Per verificare la correttezza della matrice di incidenza che abbiamo disegnato, dovremmo controllare la somma delle colonne.
Se la somma delle colonne risulta zero, allora la matrice di incidenza che abbiamo creato è corretta, altrimenti è errata.
La matrice di incidenza può essere applicata solo ai grafi diretti.
Il numero di voci in una riga, oltre allo zero, ci dice il numero di rami collegati a quel nodo. Questo è anche chiamato grado di quel nodo.
Il rango della matrice di incidenza completa è (n-1), dove n è il numero di nodi del grafo.
L'ordine della matrice di incidenza è (n × b), dove b è il numero di rami del grafo.
Da una data matrice di incidenza ridotta, possiamo disegnare la matrice di incidenza completa semplicemente aggiungendo +1, 0 o -1, sulla condizione che la somma di ogni colonna debba essere zero.
Fonte: Electrical4u.
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