Co to jest macierz incydencji?

Macierz incydencji to macierz, która reprezentuje graf w taki sposób, że za pomocą tej macierzy możemy narysować graf. Ta macierz może być oznaczona jako [AC]. Podobnie jak w każdej macierzy, w macierzy incydencji [AC] są również wiersze i kolumny.
Wiersze macierzy [AC] reprezentują liczbę węzłów, a kolumny macierzy [AC] reprezentują liczbę gałęzi w danym grafie. Jeśli w danej macierzy incydencji jest 'n' wierszy, to oznacza, że w grafie jest 'n' węzłów. Podobnie, jeśli w danej macierzy incydencji jest 'm' kolumn, to oznacza, że w grafie jest 'm' gałęzi.

W powyższym przedstawionym grafie lub grafie skierowanym jest 4 węzły i 6 gałęzi. Zatem macierz incydencji dla powyższego grafu będzie miała 4 wiersze i 6 kolumn.
Wpisy w macierzy incydencji zawsze wynoszą -1, 0, +1. Ta macierz jest zawsze analogiczna do Prawo Kirchhoffa dla prądów (KCL). Zatem z Prawa Kirchhoffa dla prądów można wyprowadzić, że,

Kroki do tworzenia macierzy incydencji

Następujące są krokami do rysowania macierzy incydencji:

1. Jeśli dany k-ty węzeł ma gałąź wychodzącą, wpisujemy +1.

2. Jeśli dany k-ty węzeł ma gałąź wchodzącą, wpisujemy -1.

3. Resztę gałęzi uznajemy za 0.

Przykłady macierzy incydencji

Dla powyższego grafu napisz jego macierz incydencji.

Zredukowana macierz incydencji

Jeśli z danej macierzy incydencji [AC] usuniemy dowolny wiersz, nowa utworzona macierz będzie zredukowaną macierzą incydencji. Jest ona oznaczona symbolem [A]. Rząd zredukowanej macierzy incydencji wynosi (n-1) × b, gdzie n to liczba węzłów, a b to liczba gałęzi.
Dla powyższego grafu zredukowana macierz incydencji będzie wyglądać tak:

[UWAGA: W powyższej macierzy usunięto wiersz 4.]
Rozważmy teraz nowy przykład związany z zredukowaną macierzą incydencji. Dla powyższego grafu napisz jego zredukowaną macierz incydencji.

Odpowiedź: Aby narysować zredukowaną macierz incydencji, najpierw należy narysować jej macierz incydencji. Jej macierz incydencji to:

Teraz narysujmy jej zredukowaną macierz incydencji. Dla tego wystarczy usunąć dowolny węzeł (w tym przypadku usunięto węzeł 2). Jego zredukowana macierz incydencji to:

To jest wymagana odpowiedź.
Punkty do zapamiętania

• Aby sprawdzić poprawność macierzy incydencji, którą narysowaliśmy, powinniśmy sprawdzić sumę kolumn.

• Jeśli suma kolumn wynosi zero, to macierz incydencji, którą stworzyliśmy, jest poprawna, w przeciwnym razie jest niepoprawna.

• Macierz incydencji może być stosowana tylko do grafów skierowanych.

• Liczba wpisów w wierszu poza zerem mówi nam o liczbie gałęzi połączonych z tym węzłem. To jest również nazywane stopniem tego węzła.

• Rząd pełnej macierzy incydencji wynosi (n-1), gdzie n to liczba węzłów w grafie.

• Rząd macierzy incydencji wynosi (n × b), gdzie b to liczba gałęzi w grafie.

• Z podanej zredukowanej macierzy incydencji możemy narysować pełną macierz incydencji, dodając +1, 0 lub -1, pod warunkiem, że suma każdej kolumny powinna wynosić zero.

Źródło: Electrical4u.

Oświadczenie: Szanuj oryginał, dobre artykuły warto udostępniać, w przypadku naruszenia praw autorskich prosimy o kontakt w celu usunięcia.