O que é Matriz de Incidência?
Matriz de incidência é a matriz que representa o grafo de tal forma que, com a ajuda dessa matriz, podemos desenhar um grafo. Esta matriz pode ser denotada como [AC] Assim como em toda matriz, há também linhas e colunas na matriz de incidência [AC].
As linhas da matriz [AC] representam o número de nós e as colunas da matriz [AC] representam o número de ramos no grafo dado. Se houver 'n' número de linhas em uma matriz de incidência dada, isso significa que no grafo há 'n' número de nós. Da mesma forma, se houver 'm' número de colunas nessa matriz de incidência dada, isso significa que no grafo há 'm' número de ramos.
No gráfico ou grafo direcionado mostrado acima, há 4 nós e 6 ramos. Portanto, a matriz de incidência para o gráfico acima terá 4 linhas e 6 colunas.
As entradas da matriz de incidência são sempre -1, 0, +1. Esta matriz é sempre análoga à KCL (Lei de Corrente de Kirchhoff). Assim, a partir da KCL, podemos derivar que,
| Tipo de ramo | Valor |
| Ramo saindo do nó k-ésimo | +1 |
| Ramo entrando no nó k-ésimo | -1 |
| Outros | 0 |
Etapas para Construir a Matriz de Incidência
A seguir estão as etapas para desenhar a matriz de incidência:
Se um dado nó k-ésimo tiver um ramo saindo, escreveremos +1.
Se um dado nó k-ésimo tiver um ramo entrando, escreveremos -1.
Os demais ramos serão considerados 0.
Exemplos de Matriz de Incidência
Para o gráfico mostrado acima, escreva sua matriz de incidência.
Matriz de Incidência Reduzida
Se de uma dada matriz de incidência [AC], qualquer linha arbitrária for excluída, então a nova matriz formada será a matriz de incidência reduzida. É representada pelo símbolo [A]. A ordem da matriz de incidência reduzida é (n-1) × b, onde n é o número de nós e b é o número de ramos.
Para o gráfico mostrado acima, a matriz de incidência reduzida será:
[NOTA: Na matriz acima, a linha 4 foi excluída.]
Agora, vamos considerar um novo exemplo relacionado à matriz de incidência reduzida. Para o gráfico mostrado acima, escreva sua matriz de incidência reduzida.
Resposta: Para desenhar a matriz de incidência reduzida, primeiro desenhe sua matriz de incidência. Sua matriz de incidência é:
Agora, desenhando sua matriz de incidência reduzida. Para isso, basta excluir qualquer nó (neste caso, excluímos o nó 2). Sua matriz de incidência reduzida é:
Esta é a resposta requerida.
Pontos a lembrar
Para verificar a correção da matriz de incidência que desenhamos, devemos verificar a soma das colunas.
Se a soma das colunas for zero, então a matriz de incidência que criamos está correta, caso contrário, está incorreta.
A matriz de incidência pode ser aplicada apenas a grafos direcionados.
O número de entradas em uma linha, além de zero, nos diz o número de ramos ligados a esse nó. Isso também é chamado de grau desse nó.
O posto da matriz de incidência completa é (n-1), onde n é o número de nós do grafo.
A ordem da matriz de incidência é (n × b), onde b é o número de ramos do grafo.
A partir de uma dada matriz de incidência reduzida, podemos desenhar a matriz de incidência completa simplesmente adicionando +1, 0 ou -1, sob a condição de que a soma de cada coluna deve ser zero.
Fonte: Electrical4u.
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