Was ist eine Inzidenzmatrix?
Inzidenzmatrix ist die Matrix, die den Graphen darstellt, so dass wir mit Hilfe dieser Matrix einen Graphen zeichnen können. Diese Matrix kann als [AC] bezeichnet werden. Wie in jeder Matrix gibt es auch in der Inzidenzmatrix [AC] Zeilen und Spalten.
Die Zeilen der Matrix [AC] stellen die Anzahl der Knoten dar, und die Spalten der Matrix [AC] stellen die Anzahl der Zweige im gegebenen Graphen dar. Wenn es 'n' Zeilen in einer gegebenen Inzidenzmatrix gibt, bedeutet das, dass es 'n' Knoten im Graphen gibt. Ähnlich, wenn es 'm' Spalten in der gegebenen Inzidenzmatrix gibt, bedeutet das, dass es 'm' Zweige im Graphen gibt.
Im oben gezeigten gerichteten Graphen gibt es 4 Knoten und 6 Zweige. Die Inzidenzmatrix für den obigen Graphen wird 4 Zeilen und 6 Spalten haben.
Die Einträge der Inzidenzmatrix sind immer -1, 0, +1. Diese Matrix ist immer analog zum KCL (Kirchhoffsches Stromgesetz). Aus dem KCL können wir ableiten, dass,
| Art des Zweiges | Wert |
| Ausgehender Zweig vom k-ten Knoten | +1 |
| Eingehender Zweig zum k-ten Knoten | -1 |
| Andere | 0 |
Schritte zur Erstellung der Inzidenzmatrix
Folgende Schritte sind zu beachten, um die Inzidenzmatrix zu erstellen:
Wenn ein gegebener k-ter Knoten einen ausgehenden Zweig hat, schreiben wir +1.
Wenn ein gegebener k-ter Knoten einen eingehenden Zweig hat, schreiben wir -1.
Alle anderen Zweige werden als 0 betrachtet.
Beispiele für Inzidenzmatrizen
Schreiben Sie die Inzidenzmatrix für den oben gezeigten Graphen.
Reduzierte Inzidenzmatrix
Wenn aus einer gegebenen Inzidenzmatrix [AC] eine beliebige Zeile gelöscht wird, dann wird die neu gebildete Matrix die reduzierte Inzidenzmatrix. Sie wird durch das Symbol [A] dargestellt. Die Ordnung der reduzierten Inzidenzmatrix ist (n-1) × b, wobei n die Anzahl der Knoten und b die Anzahl der Zweige ist.
Für den oben gezeigten Graphen wird die reduzierte Inzidenzmatrix sein:
[HINWEIS: In der oben gezeigten Matrix wurde die 4. Zeile gelöscht.]
Betrachten wir nun ein neues Beispiel bezüglich der reduzierten Inzidenzmatrix. Schreiben Sie die reduzierte Inzidenzmatrix für den oben gezeigten Graphen.
Antwort: Um die reduzierte Inzidenzmatrix zu zeichnen, zeichnen Sie zunächst die Inzidenzmatrix. Ihre Inzidenzmatrix ist:
Zeichnen Sie nun die reduzierte Inzidenzmatrix. Dafür müssen wir einfach irgendeinen Knoten löschen (in diesem Fall wurde Knoten 2 gelöscht). Die reduzierte Inzidenzmatrix ist:
Dies ist die geforderte Antwort.
Zu beachtende Punkte
Um die Richtigkeit der von uns erstellten Inzidenzmatrix zu überprüfen, sollten wir die Summe der Spalten überprüfen.
Wenn die Summe der Spalte null ergibt, dann ist die von uns erstellte Inzidenzmatrix korrekt, andernfalls falsch.
Die Inzidenzmatrix kann nur auf gerichtete Graphen angewendet werden.
Die Anzahl der Einträge in einer Zeile abgesehen von Null sagt uns, wie viele Zweige an diesen Knoten angeschlossen sind. Dies wird auch als Grad des Knotens bezeichnet.
Der Rang der vollständigen Inzidenzmatrix ist (n-1), wobei n die Anzahl der Knoten des Graphen ist.
Die Ordnung der Inzidenzmatrix ist (n × b), wobei b die Anzahl der Zweige des Graphen ist.
Aus einer gegebenen reduzierten Inzidenzmatrix können wir die vollständige Inzidenzmatrix zeichnen, indem wir einfach +1, 0 oder -1 hinzufügen, unter der Bedingung, dass die Summe jeder Spalte null sein sollte.
Quelle: Electrical4u.
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