Stern-Dreieck-Umstellung-Formel

Drei Zweige in einem elektrischen Netzwerk können auf verschiedene Weisen verbunden werden, aber am häufigsten sind dies die Stern- oder Delta-Form. Bei der Delta-Schaltung sind die drei Zweige so miteinander verbunden, dass sie eine geschlossene Schleife bilden. Da diese drei Zweige von Nase zu Schwanz verbunden sind, entsteht eine dreieckige, geschlossene Schleife, was als Delta-Schaltung bezeichnet wird. Andererseits, wenn jeder Endpunkt der drei Zweige an einen gemeinsamen Punkt angeschlossen wird, um ein Y-förmiges Muster zu bilden, nennt man dies Sternschaltung. Diese Stern- und Delta-Schaltungen können jedoch von einer Form in die andere transformiert werden. Um komplexe Netze zu vereinfachen, ist oft eine Transformation von Delta nach Stern oder Stern nach Delta erforderlich.

Deltа-zu-Stern-Umwandlung

Die Ersetzung eines Deltas oder Gitters durch eine äquivalente Sternschaltung wird als Deltа-Stern-Transformation bezeichnet. Die beiden Verbindungen sind gleichwertig oder identisch, wenn die Impedanz zwischen jedem Paar Leitungen gemessen wird. Das bedeutet, der Wert der Impedanz bleibt gleich, unabhängig davon, ob das Delta zwischen den Leitungen oder sein äquivalenter Stern angeschlossen ist.

Betrachten wir ein Delta-System, dessen Eckpunkte A, B und C sind, wie in der Abbildung dargestellt. Elektrischer Widerstand der Zweige zwischen den Punkten A und B, B und C und C und A sind R1, R2 und R3 entsprechend.
Der Widerstand zwischen den Punkten A und B beträgt,

Nun wird ein Sternsystem an diese Punkte A, B und C angeschlossen, wie in der Abbildung dargestellt. Die drei Arme RA, RB und RC des Sternsystems sind mit A, B und C verbunden. Wenn wir nun den Widerstandswert zwischen den Punkten A und B messen, erhalten wir,

Da die beiden Systeme identisch sind, muss der zwischen den Terminals A und B in beiden Systemen gemessene Widerstand gleich sein.

Ähnlich, Widerstand zwischen den Punkten B und C ist in den beiden Systemen gleich,

Und der Widerstand zwischen den Punkten C und A ist in den beiden Systemen gleich,

Addieren wir die Gleichungen (I), (II) und (III), erhalten wir,

Subtrahieren wir die Gleichungen (I), (II) und (III) von Gleichung (IV), erhalten wir,

Die Beziehung der Deltа-Stern-Transformation kann wie folgt ausgedrückt werden.
Der äquivalente Sternwiderstand, der an einem bestimmten Terminal angeschlossen ist, entspricht dem Produkt der beiden Delta-Widerstände, die an demselben Terminal angeschlossen sind, geteilt durch die Summe der Delta-Widerstände.
Wenn das Delta-System auf allen drei Seiten den gleichen Widerstand R hat, dann beträgt der äquivalente Sternwiderstand r,

Stern-zu-Deltа-Umwandlung

Für die Stern-Deltа-Transformation multiplizieren wir die Gleichungen (v), (VI) und (VI), (VII) und (VII), (V), indem wir (v) × (VI) + (VI) × (VII) + (VII) × (V) berechnen, erhalten wir,

Durch Teilen der Gleichung (VIII) durch die Gleichungen (V), (VI) und (VII) erhalten wir separat,

Quelle: Electrical4u.

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