星形からデルタ形への変換式

電気ネットワークの3つのブランチは様々な形式で接続することができますが、最も一般的なのは星形またはデルタ形です。デルタ接続では、3つのブランチが閉ループを形成するように接続されます。これらの3つのブランチが鼻から尾へと接続されるため、三角形の閉ループが形成され、この構成はデルタ接続と呼ばれます。一方、3つのブランチのいずれかの端子が共通点に接続されてY字型のパターンを形成する場合、これを星形接続と呼びます。しかし、これらの星形とデルタ接続は互いに変換することが可能です。複雑なネットワークを単純化するために、デルタから星形または星形からデルタへの変換が必要になることがあります。

デルタから星形への変換

デルタまたはメッシュを同等の星形接続に置き換えることをデルタ - 星形変換と呼びます。2つの接続が等価または同一であるとは、任意の線対間でインピーダンスを測定したときに同じ値となることを意味します。つまり、デルタが線間に接続されているか、その等価な星形が線間に接続されているかに関わらず、線対間で測定されたインピーダンスの値は同じになります。

図に示すように、A、B、Cという3つの角を持つデルタシステムを考えます。 電気抵抗 AとBの間、BとCの間、CとAの間の枝の抵抗はそれぞれR1、R2、R3です。
AとBの間の抵抗は、

次に、図に示すように、これらの点A、B、Cに一つの星形システムを接続します。星形システムの3つの腕RA、RB、RCはそれぞれA、B、Cに接続されています。ここで、AとBの間の抵抗値を測定すると、以下のようになります。

2つのシステムが同一であるため、両システムでの端子AとB間の抵抗は等しくなければなりません。

同様に、抵抗 BとCの間の抵抗も2つのシステムで等しいので、

また、CとAの間の抵抗も2つのシステムで等しいので、

方程式 (I)、(II)、(III) を加算すると、

方程式 (IV) から方程式 (I)、(II)、(III) を引くと、

デルタ - 星形変換の関係は以下の通りです。
与えられた端子に接続される等価な星形抵抗は、同じ端子に接続される2つのデルタ抵抗の積をデルタ接続抵抗の合計で割ったものに等しいです。
デルタ接続システムの3辺に同じ抵抗 Rがある場合、等価な星形抵抗rは、

星形からデルタへの変換

星形 - デルタ変換のために、方程式 (v)、(VI)、(VII) を掛け合わせ、(v) × (VI) + (VI) × (VII) + (VII) × (V) として計算すると、

次に、方程式 (VIII) を方程式 (V)、(VI)、(VII) でそれぞれ割ると、

出典: Electrical4u.

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