제어기 유형 | 비례 적분 및 미분 제어기

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컨트롤러란 무엇인가요?

제어 시스템에서 컨트롤러는 시스템의 실제 값(즉, 프로세스 변수)과 시스템의 원하는 값(즉, 설정점) 사이의 차이를 최소화하려는 메커니즘입니다. 컨트롤러는 제어 공학의 기본적인 부분이며 모든 복잡한 제어 시스템에서 사용됩니다.

다양한 컨트롤러를 자세히 소개하기 전에, 제어 시스템 이론에서 컨트롤러의 용도를 알아야 합니다. 컨트롤러의 중요한 용도는 다음과 같습니다:

컨트롤러는 정상 상태 오차를 줄여서 정상 상태 정확도를 향상시킵니다.
정상 상태 정확도가 향상됨에 따라 안정성도 향상됩니다.
컨트롤러는 시스템이 생성하는 불필요한 오프셋을 줄이는 데 도움이 됩니다.
컨트롤러는 시스템의 최대 오버슈트를 제어할 수 있습니다.
컨트롤러는 시스템이 생성하는 노이즈 신호를 줄이는 데 도움이 됩니다.
컨트롤러는 과다감쇠 시스템의 느린 응답을 가속화하는 데 도움이 됩니다.

이러한 다양한 종류의 컨트롤러는 프로그래밍 가능 논리 컨트롤러와 SCADA 시스템과 같은 산업용 자동차 장치에 코딩되어 있습니다. 다양한 유형의 컨트롤러는 아래에서 자세히 설명됩니다.

컨트롤러의 유형

컨트롤러에는 두 가지 주요 유형이 있습니다: 연속 컨트롤러와 비연속 컨트롤러입니다.

비연속 컨트롤러에서는 조작 변수가 이산 값 사이에서 변경됩니다. 조작 변수가 몇 개의 다른 상태를 가질 수 있는지에 따라 두 위치, 세 위치, 다중 위치 컨트롤러로 구분됩니다.

연속 컨트롤러와 비교하여 비연속 컨트롤러는 매우 간단한 스위칭 최종 제어 요소로 작동합니다.

연속 컨트롤러의 주요 특징은 제어 변수(조작 변수라고도 함)가 컨트롤러의 출력 범위 내에서 어떤 값이든 가질 수 있다는 것입니다.

연속 컨트롤러 이론에서는 전체 제어 동작이 이루어지는 세 가지 기본 모드가 있습니다. 이들은 다음과 같습니다:

비례 컨트롤러.
적분 제어기.
미분 제어기.

우리는 이러한 모드의 조합을 사용하여 프로세스 변수가 설정 값과 같아지도록 (또는 가능한 한 가깝게) 시스템을 제어합니다. 이 세 가지 유형의 제어기는 새로운 제어기에 결합될 수 있습니다:

비례 및 적분 제어기 (PI 제어기)
비례 및 미분 제어기 (PD 제어기)
비례 적분 미분 제어 (PID 제어기)

이제 아래에서 이러한 각 제어 모드에 대해 자세히 논의하겠습니다.

비례 제어기

모든 제어기는 그들이 가장 적합한 특정 사용 사례가 있습니다. 우리는 어떤 종류의 제어기를 어떤 시스템에 무작위로 삽입하고 좋은 결과를 기대할 수는 없습니다 – 특정 조건이 충족되어야 합니다. 비례 제어기의 경우 두 가지 조건이 있으며, 아래에 작성되어 있습니다:

편차가 크지 않아야 합니다. 즉, 입력과 출력 사이에 큰 편차가 없어야 합니다.
편차가 갑자기 발생하지 않아야 합니다.

이제 비례 제어기에 대해 논의할 준비가 되었습니다. 이름에서 알 수 있듯이, 비례 제어기에서는 출력(또는 작동 신호라고도 함)이 오류 신호와 직접적으로 비례합니다. 이제 비례 제어기를 수학적으로 분석해보겠습니다. 우리가 알고 있듯이, 비례 제어기에서 출력은 오류 신호와 직접적으로 비례하므로, 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다,

비례 기호를 제거하면 다음과 같습니다,

여기서 Kp는 비례 상수 또는 제어기 이득이라고도 알려져 있습니다.

Kp가 1보다 커야 함을 권장합니다. Kp의 값이 1보다 크다면(>1) 오류 신호가 증폭되어 쉽게 감지될 수 있습니다.

비례 제어기의 장점

이제 비례 제어기의 몇 가지 장점을 논해보겠습니다.

비례 제어기는 정상 상태 오차를 줄여 시스템을 더 안정적으로 만듭니다.
비례 제어기의 단점
이제 이러한 제어기의 몇 가지 심각한 단점에 대해 설명하겠습니다:
1. 이러한 제어기의 존재로 인해 시스템에서 일부 오프셋이 발생합니다.
2. 비례 제어기는 또한 시스템의 최대 오버슈트를 증가시킵니다.
이제 독자의 '안정성'과 '정상 상태 오차'에 대한 지식을 향상시키는 독특한 예를 통해 비례 제어기(P-제어기)를 설명하겠습니다. 그림 1에 표시된 피드백 제어 시스템을 고려해보세요.

그림 1: 비례 제어기를 사용한 피드백 제어 시스템

'K'는 비례 제어기(또는 오류 증폭기라고도 함)입니다. 이 제어 시스템의 특성 방정식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다:
s3+3s2+2s+K=0
이 특성 방정식에 Routh-Hurwitz를 적용하면, 안정성을 위한 'K'의 범위는 0<K<6으로 찾을 수 있습니다. (이는 K>6인 경우 시스템이 불안정해질 것이며, K=0인 경우 시스템이 극히 불안정할 것임을 의미합니다).
위 제어 시스템의 루트 로커스는 도표 2에서 보여집니다.

도표 2: 도표 1에 표시된 시스템의 루트 로커스, 루트 로커스는 'K'의 값이 어떻게 되어야 하는지에 대한 아이디어를 제공합니다.

(루트 로커스가 개루프 전달 함수(G(s)H(s))에 대해 그려졌음을 이해하실 수 있지만, 이는 폐루프 전달 함수의 극점, 즉 특성 방정식의 근, 또는 특성 방정식의 영점에 대한 아이디어를 제공합니다.
루트 로커스는 비례 제어기의 이득 'K' 값을 설계하는 데 도움이 됩니다.) 따라서, 시스템(도표 1 참조)은 K= 0.2, 1, 5.8 등과 같은 값에서 안정적입니다. 그러나 어떤 값을 선택해야 할까요? 각 값을 분석하고 결과를 보여드리겠습니다.
요약하자면, 'K'의 높은 값(예를 들어, K=5.8)은 안정성을 감소시키지만(이것은 단점입니다), 정상 상태 성능을 향상시킵니다(즉, 정상 상태 오차를 줄이므로 이는 장점입니다).
다음과 같이 이해할 수 있습니다.
$K_p =\lim_{s\rightarrow 0}KG(s)H(s)$ , 정상 상태 오차(ess)= $\frac{1}{1+K_p}$ (단위 계단 입력의 경우 해당됨)
$K_v =\lim_{s\rightarrow 0}sKG(s)H(s)$ , 정상 상태 오류(ess)= $\frac{1}{K_v}$ (램프 입력의 경우 적용됨)
$K_a =\lim_{s\rightarrow 0}s^2KG(s)H(s)$ , 정상 상태 오류(ess)= $\frac{1}{K_a}$ (포물선 입력의 경우 적용됨)
'K' 값이 높을수록 Kp, Kv, Ka 값도 높아지고 정상 상태 오류는 낮아짐을 알 수 있다.
이제 각 사례를 살펴보고 결과를 설명해보겠다.
1. K=0.2일 때
이 경우 시스템의 특성 방정식은 s3+ 3s2+ 2s+0.2=0이며, 이 방정식의 근은 -2.088, -0.7909, -0.1211이다. -2.088은 허축에서 멀리 떨어져 있으므로 무시할 수 있다. 나머지 두 근을 기준으로 볼 때, 이 시스템은 과다감쇠 시스템으로 간주될 수 있다(두 근 모두 실수이고 음수이며, 허수 부분이 없다).
스텝 입력에 대한 시간 응답은 Fig-3에 표시되어 있다. 응답에는 진동이 없는 것을 확인할 수 있다(근이 복소수라면 시간 응답은 진동을 나타낸다). 과다감쇠 시스템은 감쇠가 '1'보다 크다.

그림-3: 진동이 없는 응답, 이는 과감쇠 시스템의 응답입니다

현재 경우 오픈 루프 전달 함수는 $G(s)H(s)=\frac{0.2}{s(s+1)(s+2)}$
그 이득 여유(GM)=29.5 dB, 위상 여유(PM)=81.5°,
제어 시스템 설계에서 과감쇠 시스템은 선호되지 않는다는 점에 유의해야 합니다. 근(폐루프 전달 함수의 극점)은 약간의 허수 부분을 가져야 합니다.
과감쇠의 경우 감쇠가 '1'보다 크지만, 0.8 정도의 감쇠가 선호됩니다.
2. K=1일 때
이 경우 시스템의 특성 방정식은 s3+ 3s2+ 2s+1=0; 이 방정식의 근은 -2.3247, -0.3376 ±j0.5623; -2.3247는 무시할 수 있습니다.
남은 두 근을 기반으로, 이는 부진동 시스템(두 근 모두 복소수이고 실수부가 음수임)이라고 할 수 있습니다. 계단 입력에 대한 시간 응답은 그림-4에 표시되어 있습니다.

그림-4: 진동이 있는 응답, 이는 부진동 시스템의 응답입니다

현재 사례에서 오픈 루프 전달 함수는 $G(s)H(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}$
그것의 이득 여유(GM)=15.6 dB, 위상 여유(PM)=53.4°,
3. K=5.8일 때
5.8은 6에 매우 가깝기 때문에 시스템이 안정적이지만 거의 경계에 있음을 이해할 수 있습니다. 특성 방정식의 근을 찾을 수 있습니다.
한 개의 근은 무시할 수 있으며, 나머지 두 개의 근은 허수축에 매우 가깝습니다. (특성 방정식의 근은 -2.9816, -0.0092±j1.39입니다). 계단 입력에 대한 시간 응답은 Fig-5에 표시되어 있습니다.

Figure-5: 응답이 진동하는 경우, 이는 과도응답이며 저감진동 시스템의 응답입니다 (Figure-4의 응답도 저감진동 시스템에 속합니다)

현재 사례에서 오픈 루프 전달 함수는 $G(s)H(s)=\frac{5.8}{s(s+1)(s+2)}$
그것의 이득 여유=0.294 db, 위상 여유 =0.919°
이전 사례와 비교하여 GM 및 PM이 크게 감소함을 분석할 수 있습니다. 시스템이 불안정 상태에 매우 가까워서 GM 및 PM도 0 값에 매우 가깝습니다.

적분 제어기

이름에서 알 수 있듯이 적분 제어기에서는 출력(또는 작동 신호라고도 함)이 오차 신호의 적분과 직접적으로 비례합니다. 이제 적분 제어기를 수학적으로 분석해 보겠습니다.
적분 제어기의 출력은 오류 신호의 적분에 비례한다는 것을 알고 있습니다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

비례 기호를 제거하면 다음과 같습니다.

여기서 Ki는 적분 상수이자 제어기 이득으로 알려져 있습니다. 적분 제어기는 리셋 제어기로도 알려져 있습니다.

적분 제어기의 장점

적분 제어기는 독특한 능력 덕분에 교란 후에도 제어 변수를 정확한 설정 값으로 되돌릴 수 있기 때문에 리셋 제어기로 알려져 있습니다.

적분 제어기의 단점

오류에 대해 느리게 반응하기 때문에 시스템을 불안정하게 만들 수 있습니다.

미분 제어기

우리는 미분 제어기만 단독으로 사용하지 않습니다. 다음에 설명된 몇 가지 단점을 고려하여 다른 제어 모드와 조합하여 사용해야 합니다:
1. 평상시 오류를 개선하지 않습니다.
2. 시스템에서 발생하는 노이즈 신호를 증폭시키고 포화 효과를 초래합니다.
이름에서 알 수 있듯이 미분 제어기의 출력(또는 작동 신호)은 오류 신호의 미분에 비례합니다.
이제 미분 제어기를 수학적으로 분석해보겠습니다. 미분 제어기의 출력은 오류 신호의 미분에 비례한다는 것을 알고 있습니다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

비례 상수를 제거하면 다음과 같습니다

여기서 Kd는 비례 상수이자 컨트롤러 이득으로 알려져 있습니다. 미분 컨트롤러는 또한 속도 컨트롤러로 알려져 있습니다.

미분 컨트롤러의 장점

미분 컨트롤러의 주요 장점은 시스템의 일시적인 응답을 개선한다는 것입니다.

비례 및 적분 컨트롤러

이름에서 알 수 있듯이 이것은 비례와 적분 컨트롤러의 조합입니다. 출력(또는 작동 신호)은 오류 신호의 비례와 적분의 합과 같습니다.
이제 비례 및 적분 컨트롤러를 수학적으로 분석해 보겠습니다.
우리가 알고 있듯이 비례 및 적분 컨트롤러의 출력은 오류의 비례와 오류 신호의 적분의 합에 비례합니다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다

비례 상수를 제거하면 다음과 같습니다

여기서 Ki와 kp는 각각 적분 상수와 비례 상수입니다.
장점과 단점은 비례 및 적분 컨트롤러의 장점과 단점의 조합입니다.
PI 컨트롤러를 통해 우리는 원점에 하나의 극과 복소평면의 왼쪽에 있는 어느 곳에도 하나의 영점을 추가하고 있습니다.
극점이 원점에 위치해 있기 때문에 그 영향이 더 크므로 PI 제어기는 안정성을 줄일 수 있지만, 주요 장점은 정상 상태 오차를 크게 줄이는 것이기 때문에 가장 널리 사용되는 제어기 중 하나입니다.
PI 제어기의 회로도는 Fig-6에 표시되어 있습니다. 계단 입력에 대한 K=5.8, Ki=0.2 값에 따른 시간 응답은 Fig-7에 표시되어 있습니다. K=5.8 (P-제어기로서 불안정 상태에 가까웠으므로 적분 부분의 작은 값을 추가함으로써 불안정해졌습니다.
적분 부분이 안정성을 줄인다는 것은 시스템이 항상 불안정하다는 의미는 아닙니다. 현재 경우, 우리는 적분 부분을 추가했고 시스템이 불안정해졌습니다).

그림-6: PI 제어기를 갖춘 폐루프 제어 시스템

그림-7: K=5.8, Ki=0.2일 때, 그림-6에 표시된 시스템의 응답

비례 및 미분 제어기

이름에서 알 수 있듯이 비례와 미분 제어기의 조합으로 출력(또는 작동 신호라고도 함)은 오차 신호의 비례와 미분의 합과 같습니다. 이제 비례 및 미분 제어기를 수학적으로 분석해보겠습니다.
우리가 알고 있듯이 비례 및 미분 제어기의 출력은 오차의 비례와 오차 신호의 미분의 합과 직접적으로 비례합니다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

비례 기호를 제거하면,

여기서, Kd와 Kp는 각각 비례 상수와 미분 상수입니다.
장점과 단점은 비례 제어기와 미분 제어기의 장점과 단점을 결합한 것입니다.
독자들은 개루프 전달 함수의 적절한 위치에 '영'을 추가하면 안정성이 향상된다는 점을 유의해야 합니다. 반면, 개루프 전달 함수에 극을 추가하면 안정성이 감소할 수 있습니다.
위 문장에서 "적절한 위치"라는 단어는 매우 중요하며, 이는 제어 시스템 설계를 의미합니다(즉, 복소 평면에서 영과 극 모두를 적절한 지점에 추가하여 원하는 결과를 얻어야 함).
PD 제어기를 삽입하는 것은 개루프 전달 함수 [G(s)H(s)]에 영을 추가하는 것과 같습니다. PD 제어기의 다이어그램은 그림 8에 표시되어 있습니다.

그림 8: PD 제어기를 사용한 폐루프 제어 시스템

현재 경우에는 K=5.8, Td=0.5의 값을 사용하였습니다. 계단 입력에 대한 시간 응답은 그림 9에 표시되어 있습니다. 그림 9를 그림 5와 비교하여 P-제어기에 미분 부분을 삽입한 효과를 이해할 수 있습니다.

그림 9: K=5.8, Td=0.5로 설정된 그림 8의 시스템 응답

PD 제어기의 전달 함수는 K+Tds 또는 Td(s+K/Td)이며, 따라서 -K/Td에 하나의 영을 추가하였습니다. 'K' 또는 'Td'의 값을 조절함으로써 '영'의 위치를 결정할 수 있습니다.
'영'이 허수축에서 매우 멀리 떨어져 있으면 그 영향이 감소하고, '영'이 허수축 위(또는 매우 가까운 위치)에 있으면 받아들여지지 않습니다(루트 로커스는 일반적으로 '극'에서 시작하여 '영'에서 종료되며, 설계자의 목표는 일반적으로 루트 로커스가 허수축으로 가지 않도록 하는 것이므로, 허수축에 매우 가까운 '영'도 받아들여지지 않으므로, 중간 위치의 '영'을 유지해야 합니다)
일반적으로 PD 컨트롤러는 전이 특성을 개선하고 PI 컨트롤러는 제어 시스템의 정상 상태 성능을 개선한다고 말합니다.

비례 적분 미분 컨트롤러 (PID 컨트롤러)

PID 컨트롤러는 일반적으로 산업 제어 애플리케이션에서 온도, 유량, 압력, 속도 및 기타 프로세스 변수를 조절하는 데 사용됩니다.

그림-10: PID 컨트롤러를 사용한 폐루프 제어 시스템

PID 컨트롤러의 전달 함수는 다음과 같이 찾을 수 있습니다:
$Tds+K+\frac{Ki}{s}$ 또는 $\frac{Tds^2+Ks+ Ki }{s}$
기원에서 하나의 극이 고정되어 있으며, 나머지 매개변수 Td, K, 그리고 Ki가 두 영점의 위치를 결정합니다.
이 경우, 요구에 따라 두 복소 영점이나 두 실수 영점을 유지할 수 있으므로 PID 컨트롤러는 더 나은 튜닝을 제공할 수 있습니다. 예전에는 PI 컨트롤러가 제어 엔지니어들에게 최고의 선택 중 하나였습니다. 이는 PID 컨트롤러의 설계(매개변수 튜닝)가 조금 어려웠기 때문입니다. 그러나 오늘날 소프트웨어의 발전으로 인해 PID 컨트롤러의 설계가 쉬운 작업이 되었습니다.
단위 계단 입력에 대해, K=5.8, Ki=0.2, 그리고 Td=0.5 값에서 시간 응답은 그림-11에 표시되어 있습니다. 그림-11을 그림-9와 비교하십시오 (모든 시간 응답을 비교할 수 있도록 값을 설정했습니다).

그림-11: K=5.8, Td=0.5, Ki=0.2인 경우 그림-10에 표시된 시스템의 응답

PID 컨트롤러 설계를 위한 일반 가이드라인

주어진 시스템을 위한 PID 컨트롤러를 설계할 때 원하는 응답을 얻기 위한 일반적인 가이드라인은 다음과 같습니다:
1. 폐루프 전달 함수의 일시적 응답을 얻고 개선해야 할 부분을 결정합니다.
2. 비례 컨트롤러를 삽입하고 Routh-Hurwitz 방법이나 적절한 소프트웨어를 통해 'K' 값을 설계합니다.
3. 정상 상태 오차를 줄이기 위해 적분 부분을 추가합니다.
4. 감쇠를 증가시키기 위해 미분 부분을 추가합니다 (감쇠는 0.6-0.9 사이여야 합니다). 미분 부분은 오버슈트와 일시적 시간을 줄입니다.
5. MATLAB에서 사용 가능한 Sisotool도 적절한 튜닝과 원하는 전체 응답을 얻기 위해 사용할 수 있습니다.
6. 위의 파라미터 튜닝 단계(제어 시스템 설계)는 일반적인 가이드라인입니다. 컨트롤러 설계를 위한 고정된 단계는 없습니다.
퍼지 논리 컨트롤러

퍼지 논리 컨트롤러(FLC)는 시스템이 매우 비선형적인 경우에 사용됩니다. 일반적으로 대부분의 물리적 시스템/전기 시스템은 매우 비선형적이므로, 퍼지 논리 컨트롤러는 연구자들에게 좋은 선택입니다.
FLC에서는 정확한 수학적 모델이 필요하지 않습니다. 과거 경험을 기반으로 입력을 처리하며, 비선형성을 처리하고 대부분의 다른 비선형 컨트롤러보다 큰 외란 감소성을 제공할 수 있습니다.
FLC는 퍼지 집합, 즉 회원과 비회원 간의 전환이 급격하지 않고 부드러운 객체 클래스를 기반으로 합니다.
최근 발전에서 FLC는 복잡하고 비선형적이거나 정의되지 않은 시스템에서 다른 컨트롤러를 능가했으며, 이러한 시스템에 대한 좋은 실용적 지식이 존재합니다. 따라서 퍼지 집합의 경계는 모호하고 애매해져 근사 모델에 유용합니다.
퍼지 컨트롤러 합성 절차에서 중요한 단계는 이전 경험 또는 실용적 지식을 기반으로 입력 및 출력 변수를 정의하는 것입니다.
이는 컨트롤러의 예상 기능에 따라 수행됩니다. 이러한 변수를 선택하기 위한 일반적인 규칙은 없지만, 일반적으로 선택되는 변수는 제어 시스템의 상태, 그들의 오차, 오차 변화, 오차 누적입니다.
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