Tipos de Controladores | Controladores Proporcional Integral y Derivativo
¿Qué es un controlador?
En los sistemas de control, un controlador es un mecanismo que busca minimizar la diferencia entre el valor real de un sistema (es decir, la variable de proceso) y el valor deseado del sistema (es decir, el punto de ajuste). Los controladores son una parte fundamental de la ingeniería de control y se utilizan en todos los sistemas de control complejos.
Antes de introducirte a varios controladores en detalle, es esencial conocer los usos de los controladores en la teoría de los sistemas de control. Los usos importantes de los controladores incluyen:
Los controladores mejoran la precisión en estado estacionario al disminuir el error en estado estacionario.
A medida que mejora la precisión en estado estacionario, también lo hace la estabilidad.
Los controladores también ayudan a reducir los desplazamientos no deseados producidos por el sistema.
Los controladores pueden controlar el sobrepaso máximo del sistema.
Los controladores pueden ayudar a reducir las señales de ruido producidas por el sistema.
Los controladores pueden ayudar a acelerar la respuesta lenta de un sistema sobreamortiguado.
Diferentes variedades de estos controladores están codificadas dentro de dispositivos industriales automotrices como controladores lógicos programables y sistemas SCADA. A continuación, se discuten en detalle los diversos tipos de controladores.
Tipos de controladores
Existen dos tipos principales de controladores: controladores continuos y controladores discontinuos.
En los controladores discontinuos, la variable manipulada cambia entre valores discretos. Dependiendo de cuántos estados diferentes pueda asumir la variable manipulada, se distingue entre controladores de dos posiciones, tres posiciones y multi-posiciones.
En comparación con los controladores continuos, los controladores discontinuos operan con elementos finales de control muy simples, de conmutación.
La característica principal de los controladores continuos es que la variable controlada (también conocida como variable manipulada) puede tener cualquier valor dentro del rango de salida del controlador.
Ahora, en la teoría de los controladores continuos, existen tres modos básicos sobre los cuales se lleva a cabo toda la acción de control, que son:
Controladores proporcionales.
Controladores integrales.
Controladores derivativos.
Utilizamos la combinación de estos modos para controlar nuestro sistema de tal manera que la variable de proceso sea igual al punto de ajuste (o tan cerca como podamos llegar). Estos tres tipos de controladores pueden combinarse en nuevos controladores:
Controladores proporcionales e integrales (Controlador PI)
Controladores proporcionales y derivativos (Controlador PD)
Control proporcional integral derivativo (Controlador PID)
A continuación, discutiremos cada uno de estos modos de control con detalle.
Controladores proporcionales
Todos los controladores tienen un caso de uso específico para el cual son más adecuados. No podemos simplemente insertar cualquier tipo de controlador en cualquier sistema y esperar un buen resultado – hay ciertas condiciones que deben cumplirse. Para un controlador proporcional, existen dos condiciones y estas se escriben a continuación:
La desviación no debe ser grande; es decir, no debe haber una gran desviación entre la entrada y la salida.
La desviación no debe ser repentina.
Ahora estamos en condiciones de discutir los controladores proporcionales, como su nombre lo indica, en un controlador proporcional la salida (también llamada señal actuadora) es directamente proporcional a la señal de error. Ahora analicemos matemáticamente el controlador proporcional. Como sabemos, en el controlador proporcional, la salida es directamente proporcional a la señal de error, expresado matemáticamente tenemos,
Eliminando el signo de proporcionalidad, tenemos,
Donde Kp es la constante proporcional también conocida como ganancia del controlador.
Se recomienda que Kp se mantenga mayor que la unidad. Si el valor de Kp es mayor que la unidad (>1), entonces amplificará la señal de error y, por lo tanto, la señal de error amplificada puede detectarse fácilmente.
Ventajas del Controlador Proporcional
Ahora, discutamos algunas ventajas del controlador proporcional.
El controlador proporcional ayuda a reducir el error en estado estacionario, lo que hace que el sistema sea más estable.
La respuesta lenta de un sistema sobreamortiguado puede acelerarse con la ayuda de estos controladores.
Desventajas del Controlador Proporcional
Ahora, hay algunas desventajas serias de estos controladores y se escriben a continuación:
Debido a la presencia de estos controladores, obtenemos algunos desplazamientos en el sistema.
Los controladores proporcionales también aumentan el sobrepaso máximo del sistema.
Ahora, explicaremos el Controlador Proporcional (P-controlador) con un ejemplo único. Con este ejemplo, el conocimiento del lector sobre 'Estabilidad' y 'Error en Estado Estacionario' también se mejorará. Considere el sistema de control con retroalimentación mostrado en la Figura-1
'K' se llama controlador proporcional (también llamado amplificador de error). La ecuación característica de este sistema de control se puede escribir como:
s3+3s2+2s+K=0
Si se aplica Routh-Hurwitz en esta ecuación característica, entonces se puede encontrar el rango de 'K' para la estabilidad como 0<K<6. (Esto implica que para los valores K>6 el sistema será inestable; para el valor de K=0, el sistema será marginalmente estable).
La localización de raíces del sistema de control anterior se muestra en la Figura-2
(Puede entenderse que la localización de raíces se dibuja para la función de transferencia en bucle abierto (G(s)H(s), pero da una idea sobre los polos de la función de transferencia en bucle cerrado, es decir, las raíces de la ecuación característica, también llamadas ceros de la ecuación característica.
La localización de raíces es útil para diseñar el valor de 'K', es decir, la ganancia del controlador proporcional). Por lo tanto, el sistema (en la Figura-1) es estable para valores como K= 0.2, 1, 5.8, etc.; pero ¿qué valor deberíamos seleccionar? Analizaremos cada valor y le mostraremos los resultados.
En resumen, puede entender que un alto valor de 'K' (es decir, por ejemplo, K=5.8) reducirá la estabilidad (lo cual es una desventaja) pero mejorará el rendimiento en estado estable (es decir, reducirá el error en estado estable, lo cual será una ventaja).
Puede entender que
, Error en estado estable (ess)= 
(Es aplicable en caso de entrada escalón)
, error en estado estable (ess)= 
(Es aplicable en caso de entrada rampa)
, error en estado estable (ess)= 
(Es aplicable en caso de entrada parabólica)
Se puede observar que para un alto valor de 'K', los valores de Kp, Kv y Ka serán altos y el error en estado estable será bajo.
Ahora tomaremos cada caso y explicaremos los resultados
1. A K=0.2
En este caso, la ecuación característica del sistema es s3+ 3s2+ 2s+0.2=0; las raíces de esta ecuación son -2.088, -0.7909 y -0.1211; podemos ignorar -2.088 (ya que está muy lejos del eje imaginario). En base a las dos raíces restantes, se puede clasificar como un sistema sobreamortiguado (ya que ambas raíces son reales y negativas, sin partes imaginarias).
Contra una entrada escalón, su respuesta temporal se muestra en la Figura 3. Se puede ver que la respuesta no tiene oscilaciones. (si las raíces son complejas, entonces la respuesta temporal exhibe oscilaciones). El sistema sobreamortiguado tiene un amortiguamiento mayor que '1'.
En el caso presente, la función de transferencia en bucle abierto es 
Su Margen de Ganancia (MG)=29.5 dB, Margen de Fase (MF)=81.5°,
Debe tenerse en cuenta que, en el diseño de sistemas de control, los sistemas sobreamortiguados no son preferidos. Las raíces (polos de la función de transferencia en bucle cerrado) deben tener partes imaginarias ligeras.
En el caso de sobreamortiguamiento, la amortiguación es mayor que ‘1’, mientras que se prefiere una amortiguación alrededor de 0.8.
2. En K=1
En este caso, la ecuación característica del sistema es s3+ 3s2+ 2s+1=0; las raíces de esta ecuación son -2.3247, -0.3376 ±j0.5623; Podemos ignorar -2.3247.
Basándonos en las dos raíces restantes, se puede considerar como un sistema subamortiguado (ya que ambas raíces son complejas con partes reales negativas). Contra una entrada escalón, su respuesta en el tiempo se muestra en la Fig-4.
En el presente caso, la función de transferencia en bucle abierto es 
Su Margen de Ganancia (GM)=15.6 dB, Margen de Fase (PM)=53.4°,
3. A K=5.8
Como 5.8 está muy cerca de 6, puedes entender que el sistema es estable, pero casi al borde. Puedes encontrar las raíces de su ecuación característica.
Una raíz puede ser ignorada, las dos raíces restantes estarán muy cerca del eje imaginario. (Las raíces de su ecuación característica serán -2.9816, -0.0092±j1.39). Frente a una entrada escalón, su respuesta temporal se muestra en la Fig-5.
En el presente caso, la función de transferencia en bucle abierto es 
Su Margen de Ganancia=0.294 db, Margen de Fase =0.919°
Se puede analizar, en comparación con los casos anteriores, GM y PM se reducen drásticamente. Como el sistema está muy cerca de la inestabilidad, por lo tanto, GM y PM también están muy cerca del valor cero.
Controladores Integrales
Como su nombre indica, en los controladores integrales, la salida (también llamada señal actuadora) es directamente proporcional a la integral de la señal de error. Ahora analicemos matemáticamente los controladores integrales.
Como sabemos, en un controlador integral, la salida es directamente proporcional a la integración de la señal de error. Escribiendo esto matemáticamente, tenemos,
Eliminando el signo de proporcionalidad, obtenemos,
Donde Ki es una constante integral también conocida como ganancia del controlador. El controlador integral también se conoce como controlador de reinicio.
Ventajas del Controlador Integral
Debido a su capacidad única, los Controladores Integrales pueden devolver la variable controlada al punto de ajuste exacto después de una perturbación, por eso se les conoce como controladores de reinicio.
Desventajas del Controlador Integral
Tiene tendencia a hacer que el sistema sea inestable porque responde lentamente al error producido.
Controladores Derivativos
Nunca usamos controladores derivativos solos. Deben usarse en combinación con otros modos de controladores debido a algunas desventajas que se mencionan a continuación:
Nunca mejora el error en estado estable.
Produce efectos de saturación y también amplifica las señales de ruido generadas en el sistema.
Ahora, como sugiere su nombre, en un controlador derivativo, la salida (también llamada señal actuadora) es directamente proporcional a la derivada de la señal de error.
Ahora analicemos matemáticamente el controlador derivativo. Como sabemos, en un controlador derivativo, la salida es directamente proporcional a la derivada de la señal de error, escribiendo esto matemáticamente, tenemos,
Eliminando la señal de proporcionalidad, tenemos,
Donde, Kd es la constante proporcional también conocida como ganancia del controlador. El controlador derivativo también se conoce como controlador de tasa.
Ventajas del Controlador Derivativo
La principal ventaja del controlador derivativo es que mejora la respuesta transitoria del sistema.
Controlador Proporcional e Integral
Como su nombre lo indica, es una combinación de un controlador proporcional y un controlador integral, la salida (también llamada señal actuadora) es igual a la suma de la parte proporcional y la integral de la señal de error.
Ahora analicemos matemáticamente el controlador proporcional e integral.
Como sabemos, en un controlador proporcional e integral, la salida es directamente proporcional a la suma de la parte proporcional del error y la integración de la señal de error, expresado matemáticamente, tenemos,
Eliminando la señal de proporcionalidad, tenemos,
Donde, Ki y kp son las constantes proporcional e integral, respectivamente.
Las ventajas y desventajas son una combinación de las ventajas y desventajas de los controladores proporcional e integral.
A través del controlador PI, estamos añadiendo un polo en el origen y un cero en algún lugar lejos del origen (en el lado izquierdo del plano complejo).
Dado que el polo está en el origen, su efecto será mayor, por lo que el controlador PI puede reducir la estabilidad; pero su principal ventaja es que reduce drásticamente el error en estado estable, y por esta razón es uno de los controladores más ampliamente utilizados.
El diagrama esquemático del controlador PI se muestra en la Fig-6. Frente a una entrada escalón, para los valores de K=5.8, Ki=0.2, su respuesta temporal se muestra en la Fig-7. A K=5.8 (como un controlador P, estaba al borde de la inestabilidad, así que solo con la adición de un pequeño valor de la parte integral, se volvió inestable.
Tenga en cuenta que la parte integral reduce la estabilidad, lo que no significa que el sistema siempre será inestable. En el presente caso, hemos añadido una parte integral y el sistema se volvió inestable).
Controlador Proporcional y Derivativo
Como su nombre lo indica, es una combinación de un controlador proporcional y un controlador derivativo, la salida (también llamada señal actuadora) es igual a la suma de la proporción y la derivada de la señal de error. Ahora analicemos matemáticamente el controlador proporcional y derivativo.
Como sabemos, en un controlador proporcional y derivativo, la salida es directamente proporcional a la suma de la proporción del error y la diferenciación de la señal de error, escribiendo esto matemáticamente tenemos,
Eliminando el signo de proporcionalidad tenemos,
Donde, Kd y Kp son respectivamente la constante proporcional y la constante derivativa.
Las ventajas y desventajas son combinaciones de las ventajas y desventajas de los controladores proporcionales y derivativos.
Los lectores deben tener en cuenta que agregar un 'cero' en la ubicación adecuada en la función de transferencia en bucle abierto mejora la estabilidad, mientras que la adición de un polo en la función de transferencia en bucle abierto puede reducir la estabilidad.
Las palabras "en la ubicación adecuada" en la oración anterior son muy importantes y se llama diseño del sistema de control (es decir, tanto el cero como el polo deben agregarse en puntos apropiados en el plano complejo para obtener el resultado deseado).
Insertar el controlador PD es como la adición de un cero en la función de transferencia en bucle abierto [G(s)H(s)]. El diagrama del controlador PD se muestra en la Figura-8
En el caso presente, hemos tomado los valores de K=5.8, Td=0.5. Su respuesta temporal, contra una entrada en escalón, se muestra en la Figura-9. Puede comparar la Figura-9 con la Figura-5 y entender el efecto de insertar la parte derivativa en el controlador P.
La función de transferencia del controlador PD es K+Tds o Td(s+K/Td); por lo tanto, hemos añadido un cero en -K/Td. Al controlar el valor de 'K' o 'Td', se puede decidir la posición del 'cero'.
Si el 'cero' está muy lejos del eje imaginario, su influencia disminuirá, si el 'cero' está en el eje imaginario (o muy cerca del eje imaginario) tampoco será aceptable (la loca de raíces generalmente comienza desde los 'polos' y termina en los 'ceros', el objetivo del diseñador es generalmente que la loca de raíces no vaya hacia el eje imaginario, por esta razón, un 'cero' muy cercano al eje imaginario tampoco es aceptable, por lo que se debe mantener una posición moderada del 'cero')
Generalmente, se dice que el controlador PD mejora el rendimiento transitorio y el controlador PI mejora el rendimiento en estado estacionario de un sistema de control.
Controlador Proporcional más Integral más Derivativo (PID)
Un controlador PID se utiliza generalmente en aplicaciones de control industrial para regular la temperatura, el flujo, la presión, la velocidad y otras variables de proceso.
La función de transferencia del controlador PID puede encontrarse como:
o 
Se puede observar que un polo en el origen está fijo, los parámetros restantes Td, K, y Ki deciden la posición de dos ceros.
En este caso, podemos mantener dos ceros complejos o dos ceros reales según sea necesario, por lo que el controlador PID puede proporcionar una mejor sintonización. En los tiempos antiguos, el controlador PI era una de las mejores opciones de los ingenieros de control, porque el diseño (sintonización de parámetros) del controlador PID era un poco difícil, pero en la actualidad, debido al desarrollo de software, el diseño de controladores PID se ha convertido en una tarea fácil.
Contra una entrada escalón, para los valores de K=5.8, Ki=0.2, y Td=0.5, su respuesta temporal se muestra en la Fig-11. Compare la Fig-11 con la Fig-9 (Hemos tomado valores de tal manera que todas las respuestas temporales puedan ser comparadas).
Directrices generales para diseñar un controlador PID
Cuando estás diseñando un controlador PID para un sistema dado, las directrices generales para obtener la respuesta deseada son las siguientes:
Obtén la respuesta transitoria de la función de transferencia en bucle cerrado y determina qué necesita ser mejorado.
Inserta el controlador proporcional, diseña el valor de ‘K’ a través de Routh-Hurwitz o un software adecuado.
Añade una parte integral para reducir el error en estado estable.
Añade la parte derivativa para aumentar el amortiguamiento (el amortiguamiento debe estar entre 0.6-0.9). La parte derivativa reducirá los sobrepasos y el tiempo transitorio.
Sisotool, disponible en MATLAB, también puede utilizarse para un ajuste adecuado y para obtener una respuesta global deseada.
Tenga en cuenta que los pasos anteriores de ajuste de parámetros (diseño de un sistema de control) son directrices generales. No hay pasos fijos para el diseño de controladores.
Controladores de lógica difusa
Los controladores de lógica difusa (FLC) se utilizan cuando los sistemas son altamente no lineales. Generalmente, la mayoría de los sistemas físicos/sistemas eléctricos son altamente no lineales. Por esta razón, los controladores de lógica difusa son una buena opción entre los investigadores.
No se necesita un modelo matemático preciso en FLC. Funciona con entradas basadas en experiencias pasadas, puede manejar no linealidades y puede presentar mayor insensibilidad a perturbaciones que la mayoría de otros controladores no lineales.
FLC se basa en conjuntos difusos, es decir, clases de objetos en las que la transición de la pertenencia a la no pertenencia es suave en lugar de abrupta.
En desarrollos recientes, FLC ha superado a otros controladores en sistemas complejos, no lineales o indefinidos, para los cuales existe un buen conocimiento práctico. Por lo tanto, los límites de los conjuntos difusos pueden ser vagos y ambiguos, lo que los hace útiles para modelos de aproximación.
El paso importante en el procedimiento de síntesis del controlador difuso es definir las variables de entrada y salida basándose en experiencias previas o conocimientos prácticos.
Esto se hace de acuerdo con la función esperada del controlador. No hay reglas generales para seleccionar estas variables, aunque típicamente las variables elegidas son los estados del sistema controlado, sus errores, variación del error y acumulación del error.
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