Types de Contrôleurs | Contrôleurs Proportionnels Intégraux et Dérivés
Qu'est-ce qu'un contrôleur?
Dans les systèmes de contrôle, un contrôleur est un mécanisme qui cherche à minimiser la différence entre la valeur réelle d'un système (c'est-à-dire la variable de processus) et la valeur souhaitée du système (c'est-à-dire le point de consigne). Les contrôleurs sont une partie fondamentale de l'ingénierie de contrôle et sont utilisés dans tous les systèmes de contrôle complexes.
Avant de vous présenter en détail les différents types de contrôleurs, il est essentiel de connaître les utilisations des contrôleurs dans la théorie des systèmes de contrôle. Les utilisations importantes des contrôleurs comprennent :
Les contrôleurs améliorent la précision en régime permanent en réduisant l'erreur en régime permanent.
À mesure que la précision en régime permanent s'améliore, la stabilité s'améliore également.
Les contrôleurs aident également à réduire les décalages indésirables produits par le système.
Les contrôleurs peuvent contrôler le dépassement maximal du système.
Les contrôleurs peuvent aider à réduire les signaux de bruit produits par le système.
Les contrôleurs peuvent aider à accélérer la réponse lente d'un système suramorti.
Différents types de ces contrôleurs sont codifiés au sein de dispositifs industriels automobiles tels que les contrôleurs logiques programmables et les systèmes SCADA. Les différents types de contrôleurs sont discutés en détail ci-dessous.
Types de contrôleurs
Il existe deux types principaux de contrôleurs : les contrôleurs continus et les contrôleurs discontinus.
Dans les contrôleurs discontinus, la variable manipulée change entre des valeurs discrètes. En fonction du nombre d'états différents que la variable manipulée peut prendre, on distingue les contrôleurs à deux positions, à trois positions et à plusieurs positions.
Comparativement aux contrôleurs continus, les contrôleurs discontinus fonctionnent avec des éléments de commande finaux très simples, basés sur un commutateur.
La caractéristique principale des contrôleurs continus est que la variable contrôlée (également connue sous le nom de variable manipulée) peut avoir n'importe quelle valeur dans la plage de sortie du contrôleur.
Dans la théorie des contrôleurs continus, il existe trois modes de base sur lesquels repose toute l'action de contrôle, qui sont :
Contrôleurs proportionnels.
Contrôleurs intégraux.
Contrôleurs dérivatifs.
Nous utilisons la combinaison de ces modes pour contrôler notre système de telle sorte que la variable de processus soit égale au point de consigne (ou aussi proche que possible). Ces trois types de contrôleurs peuvent être combinés en nouveaux contrôleurs :
Contrôleurs proportionnels et intégraux (contrôleur PI)
Contrôleurs proportionnels et dérivatifs (contrôleur PD)
Contrôle par action proportionnelle, intégrale et dérivée (contrôleur PID)
Nous allons maintenant discuter en détail de chacun de ces modes de contrôle ci-dessous.
Contrôleurs proportionnels
Tous les contrôleurs ont un cas d'utilisation spécifique pour lequel ils sont les mieux adaptés. Nous ne pouvons pas simplement insérer n'importe quel type de contrôleur dans n'importe quel système et nous attendre à un bon résultat – certaines conditions doivent être remplies. Pour un contrôleur proportionnel, il y a deux conditions qui sont écrites ci-dessous :
La déviation ne doit pas être grande ; c'est-à-dire qu'il ne doit pas y avoir une grande déviation entre l'entrée et la sortie.
La déviation ne doit pas être soudaine.
Nous sommes maintenant en mesure de discuter des contrôleurs proportionnels, comme leur nom l'indique, dans un contrôleur proportionnel, la sortie (également appelée signal d'actionnement) est directement proportionnelle au signal d'erreur. Analysons maintenant mathématiquement le contrôleur proportionnel. Comme nous le savons, dans un contrôleur proportionnel, la sortie est directement proportionnelle au signal d'erreur, ce qui peut s'écrire mathématiquement comme suit,
En supprimant le signe de proportionnalité, nous avons,
Où Kp est la constante proportionnelle également connue sous le nom de gain du contrôleur.
Il est recommandé que Kp reste supérieur à l'unité. Si la valeur de Kp est supérieure à l'unité (>1), alors elle amplifie le signal d'erreur et ainsi le signal d'erreur amplifié peut être détecté facilement.
Avantages du Contrôleur Proportionnel
Passons maintenant en revue certains avantages du contrôleur proportionnel.
Le contrôleur proportionnel aide à réduire l'erreur en régime permanent, rendant ainsi le système plus stable.
La réponse lente d'un système suramorti peut être accélérée grâce à ces contrôleurs.
Inconvénients du Contrôleur Proportionnel
Il existe cependant certains inconvénients sérieux de ces contrôleurs, qui sont les suivants :
En raison de la présence de ces contrôleurs, nous obtenons des décalages dans le système.
Les contrôleurs proportionnels augmentent également le dépassement maximal du système.
Nous allons maintenant expliquer le Contrôleur Proportionnel (P-contrôleur) avec un exemple unique. Cet exemple permettra également d'améliorer la connaissance du lecteur sur la 'Stabilité' et l' 'Erreur en Régime Permanent'. Considérons le système de commande à retour de boucle montré dans la Figure-1
‘K’ est appelé contrôleur proportionnel (également appelé amplificateur d'erreur). L'équation caractéristique de ce système de contrôle peut être écrite comme suit :
s3+3s2+2s+K=0
Si le critère de Routh-Hurwitz est appliqué à cette équation caractéristique, alors la plage de 'K' pour la stabilité peut être trouvée comme 0<K<6. (Cela signifie que pour les valeurs K>6, le système sera instable ; pour la valeur de K=0, le système sera marginalement stable).
Le lieu des racines du système de contrôle ci-dessus est montré dans la Figure-2
(Vous pouvez comprendre que le lieu des racines est tracé pour la fonction de transfert en boucle ouverte (G(s)H(s)), mais cela donne une idée sur les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée, c'est-à-dire les racines de l'équation caractéristique, également appelées zéros de l'équation caractéristique.
Le lieu des racines est utile pour la conception de la valeur de 'K', c'est-à-dire le gain du contrôleur proportionnel). Ainsi, le système (dans la Figure-1) est stable pour des valeurs telles que K= 0,2, 1, 5,8, etc. ; mais quelle valeur devrions-nous choisir. Nous analyserons chaque valeur et vous montrerons les résultats.
En résumé, vous pouvez comprendre qu'une valeur élevée de 'K' (c'est-à-dire, par exemple, K=5,8) réduira la stabilité (ce qui est un désavantage), mais améliorera la performance en régime permanent (c'est-à-dire réduira l'erreur en régime permanent, ce qui sera un avantage).
Vous pouvez comprendre que
, Erreur en régime permanent (ess)= 
(Cela s'applique dans le cas d'une entrée en échelon)
, l'erreur en régime permanent (ess)= 
(Cela s'applique dans le cas d'une entrée rampante)
, l'erreur en régime permanent (ess)= 
(Cela s'applique dans le cas d'une entrée parabolique)
On peut observer que pour une valeur élevée de 'K', les valeurs de Kp, Kv et Ka seront élevées et l'erreur en régime permanent sera faible.
Nous allons maintenant examiner chaque cas et expliquer les résultats
1. Pour K=0,2
Dans ce cas, l'équation caractéristique du système est s3+ 3s2+ 2s+0,2=0 ; les racines de cette équation sont -2,088, -0,7909 et -0,1211 ; nous pouvons ignorer -2,088 (car elle est loin de l'axe imaginaire). Sur la base des deux racines restantes, on peut qualifier le système de suramorti (car les deux racines sont réelles et négatives, sans parties imaginaires).
Face à une entrée en échelon, sa réponse temporelle est montrée dans la Fig-3. On peut voir que la réponse n'a pas d'oscillations. (si les racines sont complexes, alors la réponse temporelle présente des oscillations). Le système suramorti a un amortissement supérieur à '1'.
Dans le cas présent, la fonction de transfert en boucle ouverte est 
Son Marge de Gain (MG) = 29,5 dB, Marge de Phase (MP) = 81,5°,
Il convient de noter que dans la conception des systèmes de contrôle, les systèmes suramortis ne sont pas préférés. Les racines (les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée) devraient avoir une partie imaginaire légère.
Dans le cas d'un système suramorti, l'amortissement est supérieur à '1', tandis qu'un amortissement autour de 0,8 est préféré.
2. Pour K=1
Dans ce cas, l'équation caractéristique du système est s3+ 3s2+ 2s+1=0 ; les racines de cette équation sont -2,3247, -0,3376 ±j0,5623 ; Nous pouvons ignorer -2,3247.
Sur la base des deux racines restantes, il peut être qualifié de système sous-amorti (car les deux racines sont complexes avec des parties réelles négatives). Contre une entrée en échelon, sa réponse temporelle est montrée dans la Fig-4.
Dans le cas présent, la fonction de transfert en boucle ouverte est 
Son Marge de Gain (MG) = 15,6 dB, Marge de Phase (MP) = 53,4°,
3. À K=5,8
Comme 5,8 est très proche de 6, on peut comprendre que le système est stable, mais presque à la limite. Vous pouvez trouver les racines de son équation caractéristique.
Une racine peut être ignorée, les deux racines restantes seront très proches de l'axe imaginaire. (Les racines de son équation caractéristique seront -2,9816, -0,0092±j1,39). Contre une entrée en échelon, sa réponse temporelle est montrée dans la Fig-5.
Dans le cas présent, la fonction de transfert en boucle ouverte est 
Sa Marge de Gain = 0,294 dB, Marge de Phase = 0,919°
On peut analyser, par rapport aux cas précédents, que la MG et la MP ont considérablement diminué. Comme le système est très proche de l'instabilité, la MG et la MP sont également très proches de zéro.
Contrôleurs intégraux
Comme leur nom l'indique, dans les contrôleurs intégraux, la sortie (également appelée signal d'actionnement) est directement proportionnelle à l'intégrale du signal d'erreur. Analysons maintenant le contrôleur intégral mathématiquement.
Comme nous le savons, dans un contrôleur intégral, la sortie est directement proportionnelle à l'intégrale du signal d'erreur. En écrivant cela mathématiquement, nous avons,
En supprimant le signe de proportionnalité, nous obtenons,
Où Ki est une constante intégrale également connue sous le nom de gain du contrôleur. Le contrôleur intégral est également connu sous le nom de contrôleur de réinitialisation.
Avantages du contrôleur intégral
En raison de leur capacité unique, les contrôleurs intégraux peuvent ramener la variable contrôlée exactement au point de consigne après une perturbation, c'est pourquoi ils sont appelés contrôleurs de réinitialisation.
Inconvénients du contrôleur intégral
Il tend à rendre le système instable car il répond lentement à l'erreur produite.
Contrôleurs dérivatifs
Nous n'utilisons jamais les contrôleurs dérivatifs seuls. Ils doivent être utilisés en combinaison avec d'autres modes de contrôleurs en raison de leurs quelques inconvénients qui sont énumérés ci-dessous :
Ils n'améliorent jamais l'erreur en régime permanent.
Ils produisent des effets de saturation et amplifient également les signaux de bruit produits dans le système.
Comme son nom l'indique, dans un contrôleur dérivatif, la sortie (également appelée signal d'actionnement) est directement proportionnelle à la dérivée du signal d'erreur.
Analysons maintenant le contrôleur dérivatif mathématiquement. Comme nous le savons, dans un contrôleur dérivatif, la sortie est directement proportionnelle à la dérivée du signal d'erreur. En écrivant cela mathématiquement, nous avons,
En supprimant le signe de proportionnalité, nous avons,
Où Kd est une constante de proportionnalité également connue sous le nom de gain du contrôleur. Le contrôleur dérivé est également connu sous le nom de contrôleur de taux.
Avantages du contrôleur dérivé
L'avantage majeur d'un contrôleur dérivé est qu'il améliore la réponse transitoire du système.
Contrôleur proportionnel et intégral
Comme son nom l'indique, c'est une combinaison de contrôleur proportionnel et intégral. La sortie (également appelée signal d'action) est égale à la somme du terme proportionnel et de l'intégrale du signal d'erreur.
Analysons maintenant le contrôleur proportionnel et intégral mathématiquement.
Comme nous le savons, dans un contrôleur proportionnel et intégral, la sortie est directement proportionnelle à la somme du terme proportionnel de l'erreur et de l'intégration du signal d'erreur. Écrivons cela mathématiquement, nous avons,
En supprimant le signe de proportionnalité, nous avons,
Où, Ki et kp sont respectivement les constantes intégrales et proportionnelles.
Les avantages et inconvénients sont des combinaisons des avantages et inconvénients des contrôleurs proportionnels et intégraux.
Avec le contrôleur PI, nous ajoutons un pôle à l'origine et un zéro quelque part loin de l'origine (dans le demi-plan gauche du plan complexe).
Comme le pôle est à l'origine, son effet sera plus important, par conséquent, le contrôleur PI peut réduire la stabilité ; mais son principal avantage est qu'il réduit considérablement l'erreur en régime permanent, c'est pourquoi c'est l'un des contrôleurs les plus largement utilisés.
Le schéma du contrôleur PI est montré dans la Fig-6. Face à une entrée en échelon, pour les valeurs de K=5,8, Ki=0,2, sa réponse temporelle est montrée dans la Fig-7. À K=5,8 (en tant que contrôleur P, il était au bord de l'instabilité, donc en ajoutant une petite valeur de partie intégrale, il est devenu instable.
Veuillez noter que la partie intégrale réduit la stabilité, ce qui ne signifie pas que le système sera toujours instable. Dans le cas présent, nous avons ajouté une partie intégrale et le système est devenu instable).
Contrôleur proportionnel et dérivatif
Comme son nom l'indique, c'est une combinaison d'un contrôleur proportionnel et d'un contrôleur dérivatif, la sortie (également appelée signal d'actionnement) est égale à la somme du terme proportionnel et de la dérivée du signal d'erreur. Analysons maintenant mathématiquement le contrôleur proportionnel et dérivatif.
Comme nous le savons, dans un contrôleur proportionnel et dérivatif, la sortie est directement proportionnelle à la somme du terme proportionnel de l'erreur et de la dérivée du signal d'erreur. Écrivons cela mathématiquement, nous avons,
En supprimant le signe de proportionnalité, nous avons,
Où Kd et Kp sont respectivement la constante proportionnelle et la constante dérivée.
Les avantages et inconvénients sont des combinaisons d'avantages et d'inconvénients des contrôleurs proportionnels et dérivés.
Il convient de noter que l'ajout d'un 'zéro' à l'emplacement approprié dans la fonction de transfert en boucle ouverte améliore la stabilité, tandis que l'ajout d'un pôle dans la fonction de transfert en boucle ouverte peut réduire la stabilité.
Les mots "à l'emplacement approprié" dans la phrase ci-dessus sont très importants et cela s'appelle la conception du système de contrôle (c'est-à-dire que le zéro et le pôle doivent être ajoutés aux points appropriés du plan complexe pour obtenir le résultat souhaité).
L'insertion du contrôleur PD est comme l'ajout d'un zéro dans la fonction de transfert en boucle ouverte [G(s)H(s)]. Le diagramme du contrôleur PD est montré dans la Fig-8
Dans le cas présent, nous avons pris les valeurs de K=5,8, Td=0,5. Sa réponse temporelle, face à une entrée en échelon, est montrée dans la Fig-9. Vous pouvez comparer la Fig-9 avec la Fig-5 et comprendre l'effet de l'insertion de la partie dérivée dans le contrôleur P.
La fonction de transfert du contrôleur PD est K+Tds ou Td(s+K/Td) ; nous avons donc ajouté un zéro à -K/Td. En contrôlant la valeur de 'K' ou 'Td', la position du 'zéro' peut être déterminée.
Si le 'zéro' est très éloigné de l'axe imaginaire, son influence diminuera, si le 'zéro' est sur l'axe imaginaire (ou très proche de l'axe imaginaire), il ne sera pas non plus accepté (la trajectoire racine commence généralement des 'pôles' et se termine aux 'zéros', l'objectif du concepteur est généralement que la trajectoire racine ne devrait pas aller vers l'axe imaginaire, c'est pourquoi un 'zéro' très proche de l'axe imaginaire n'est pas acceptable, par conséquent, une position modérée du 'zéro' doit être maintenue)
Généralement, on dit que le contrôleur PD améliore les performances transitoires et que le contrôleur PI améliore les performances en régime permanent d'un système de contrôle.
Contrôleur Proportionnel Intégral Dérivé (PID)
Un contrôleur PID est généralement utilisé dans les applications de contrôle industriel pour réguler la température, le débit, la pression, la vitesse et d'autres variables de processus.
La fonction de transfert du contrôleur PID peut être trouvée comme suit :
ou 
On peut observer qu'un pôle à l'origine est fixe, les paramètres restants Td, K, et Ki déterminent la position des deux zéros.
Dans ce cas, nous pouvons conserver deux zéros complexes ou deux zéros réels selon les besoins, donc le contrôleur PID peut fournir une meilleure réglage. Autrefois, le contrôleur PI était l'un des meilleurs choix des ingénieurs de contrôle, car la conception (réglage des paramètres) du contrôleur PID était un peu difficile, mais de nos jours, grâce au développement des logiciels, la conception des contrôleurs PID est devenue une tâche facile.
Face à une entrée en échelon, pour les valeurs de K=5,8, Ki=0,2, et Td=0,5, sa réponse temporelle est montrée dans la Fig-11. Comparez la Fig-11 avec la Fig-9 (Nous avons pris des valeurs telles que toutes les réponses temporelles puissent être comparées).
Directives générales pour la conception d'un contrôleur PID
Lorsque vous concevez un contrôleur PID pour un système donné, les directives générales pour obtenir la réponse souhaitée sont les suivantes :
Obtenez la réponse transitoire de la fonction de transfert en boucle fermée et déterminez ce qui doit être amélioré.
Insérez le contrôleur proportionnel, Concevez la valeur de 'K' à travers Routh-Hurwitz ou un logiciel approprié.
Ajoutez une partie intégrale pour réduire l'erreur en régime permanent.
Ajoutez la partie dérivée pour augmenter l'amortissement (l'amortissement devrait être entre 0,6 et 0,9). La partie dérivée réduira les dépassements et le temps de transition.
Sisotool, disponible dans MATLAB, peut également être utilisé pour un réglage approprié et pour obtenir une réponse globale souhaitée.
Veuillez noter que les étapes ci-dessus de réglage des paramètres (conception d'un système de contrôle) sont des directives générales. Il n'existe pas de procédures fixes pour la conception des contrôleurs.
Contrôleurs logiques flous
Les contrôleurs logiques flous (FLC) sont utilisés lorsque les systèmes sont fortement non linéaires. Généralement, la plupart des systèmes physiques ou électriques sont fortement non linéaires. Pour cette raison, les contrôleurs logiques flous sont un bon choix parmi les chercheurs.
Un modèle mathématique précis n'est pas nécessaire dans les FLC. Ils fonctionnent sur la base des expériences passées, peuvent gérer les non-linéarités et peuvent présenter une insensibilité aux perturbations supérieure à celle de la plupart des autres contrôleurs non linéaires.
Les FLC sont basés sur des ensembles flous, c'est-à-dire des classes d'objets dans lesquelles la transition de l'appartenance à la non-appartenance est progressive plutôt que brutale.
Dans les développements récents, les FLC ont surpassé d'autres contrôleurs dans des systèmes complexes, non linéaires ou indéfinis pour lesquels une bonne connaissance pratique existe. Par conséquent, les limites des ensembles flous peuvent être vagues et ambiguës, ce qui les rend utiles pour les modèles d'approximation.
L'étape importante dans la procédure de synthèse du contrôleur flou est de définir les variables d'entrée et de sortie sur la base des expériences passées ou de la connaissance pratique.
Cela est fait en accord avec la fonction attendue du contrôleur. Il n'existe pas de règles générales pour sélectionner ces variables, bien que les variables choisies soient généralement les états du système contrôlé, leurs erreurs, la variation de l'erreur et l'accumulation de l'erreur.
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