أنواع المُتحكمات | المتحكمات التناسبية والتكاملية والتفاضلية

ما هو المُتحكم؟

في أنظمة التحكم، المُتحكم هو آلية تسعى لتقليل الفرق بين القيمة الفعلية للنظام (أي متغير العملية) والقيمة المرجوة للنظام (أي نقطة الضبط). تعتبر المتحكمات جزءًا أساسيًا من هندسة التحكم وتستخدم في جميع الأنظمة المعقدة للتحكم.

قبل أن نقدم لك أنواع مختلفة من المتحكمات بشكل مفصل، من الضروري معرفة استخدامات المتحكمات في نظرية أنظمة التحكم. ومن أهم استخدامات المتحكمات:

1. تحسين الدقة الثابتة بتقليل الخطأ الثابت.

2. مع تحسين الدقة الثابتة، تتحسن الاستقرار أيضًا.

3. تساعد المتحكمات أيضًا في تقليل الانحرافات غير المرغوب فيها التي ينتجها النظام.

4. يمكن للمتحكمات التحكم في الزيادة القصوى لنظام التحكم.

5. تساعد المتحكمات في تقليل الإشارات الضوضائية التي ينتجها النظام.

6. تساعد المتحكمات في تسريع الاستجابة البطيئة لنظام مفرط التعديل.

توجد أنواع مختلفة من هذه المتحكمات مرمزة ضمن الأجهزة الصناعية والأوتوموبيلية مثل المتحكمات المنطقية القابلة للبرمجة وأنظمة SCADA. يتم مناقشة أنواع مختلفة من المتحكمات بالتفصيل أدناه.

أنواع المتحكمات

هناك نوعان رئيسيان من المتحكمات: المتحكمات المستمرة والمتحكمات المتقطعة.

في المتحكمات المتقطعة، يتغير المتغير المحكوم بين قيم متقطعة. بناءً على عدد الحالات المختلفة التي يمكن للمتغير المحكوم اتخاذها، يتم التمييز بين المتحكمات ذات الموضعين، المتحكمات ذات الثلاثة مواقف، والمتحكمات متعددة المواقف.

مقارنة بالمتحكمات المستمرة، تعمل المتحكمات المتقطعة على عناصر تحكم نهائية بسيطة جدًا ومفتاحية.

الخاصية الرئيسية للمتحكمات المستمرة هي أن المتغير المحكوم (المعروف أيضًا باسم المتغير المحكوم به) يمكن أن يكون له أي قيمة داخل نطاق خرج المتحكم.

وفي نظرية المتحكمات المستمرة، هناك ثلاثة أوضاع أساسية تقوم عليها كل عملية التحكم، وهي:

1. المتحكمات التناسبية.

2. متحكمات التكامل.

3. متحكمات المشتقات.

نستخدم مزيج هذه الأوضاع للتحكم في نظامنا بحيث يكون المتغير العملي مساوياً لنقطة الضبط (أو بأقرب ما يمكن). يمكن دمج هذه الثلاثة أنواع من المتحكمات في متحكمات جديدة:

1. متحكمات النسبية والتكامل (PI Controller)

2. متحكمات النسبية والمشتقات (PD Controller)

3. التحكم النسبي التكاملي المشتق (PID Controller)

سنناقش الآن كل من هذه الأوضاع التحكمية بالتفصيل أدناه.

متحكمات النسبة

لكل متحكم حالة استخدام معينة تناسبها بشكل أفضل. لا يمكننا فقط إدخال أي نوع من المتحكمات في أي نظام ونتوقع نتيجة جيدة – هناك شروط معينة يجب تحقيقها. بالنسبة لـ متحكم النسبة، هناك شرطان وهما كالتالي:

1. يجب ألا يكون الانحراف كبيرًا؛ أي يجب ألا يكون هناك انحراف كبير بين الإدخال والإخراج.

2. يجب ألا يكون الانحراف مفاجئًا.

نحن الآن في وضع يسمح لنا بمناقشة المتحكمات النسبية، كما يشير الاسم فإن الإخراج (المعروف أيضًا باسم الإشارة الفعالة) في المتحكم النسبي متناسب مباشرة مع إشارة الخطأ. دعونا نحلل المتحكم النسبي رياضيًا. كما نعلم في المتحكم النسبي يكون الإخراج متناسبًا مباشرة مع إشارة الخطأ، كتابة هذا رياضيًا لدينا،

بإزالة علامة التناسب نحصل على،

حيث Kp هو الثابت النسبي المعروف أيضًا باسم كسب المُتحكم.

يُنصح بأن يكون Kp أكبر من الوحدة. إذا كان قيمة Kp أكبر من الوحدة (>1)، فسيقوم بتكبير إشارة الخطأ وبالتالي يمكن اكتشاف الإشارة المكبرة بسهولة.

مزايا المتحكم التناسبي

دعونا الآن نناقش بعض مزايا المتحكم التناسبي.

1. يساعد المتحكم التناسبي في تقليل الخطأ الثابت، مما يجعل النظام أكثر استقرارًا.

2. يمكن جعل استجابة النظام المفرط التخميد أسرع مع مساعدة هذه المتحكمات.

عيوب المتحكم التناسبي

هناك بعض العيوب الجدية لهذه المتحكمات وهي كالتالي:

1. بسبب وجود هذه المتحكمات، نحصل على بعض الانحرافات في النظام.

2. تزيد المتحكمات التناسبية أيضًا من الزيادة القصوى لنظام التخطي.

الآن، سنشرح المتحكم التناسبي (P-controller) بمثال فريد. سيتعزز معرفة القارئ حول 'الاستقرار' و 'خطأ الحالة الثابتة' أيضًا. ضع في اعتبارك نظام التحكم بالتغذية المرتدة المعروض في الشكل-1

'K' يسمى المتحكم التناسبي (يُطلق عليه أيضًا اسم مكبر الخطأ). يمكن كتابة معادلة الخصائص لهذا نظام التحكم كما يلي:

s3+3s2+2s+K=0

إذا تم تطبيق روث-هيرفيتز على هذه المعادلة المميزة، يمكن إيجاد نطاق 'K' للثبات كـ 0<K<6. (وهذا يعني أنه بالنسبة للقيم K>6 سيكون النظام غير مستقر؛ وبالنسبة لقيمة K=0، سيكون النظام في حالة استقرار هامشي).

يظهر مسار الجذور لنظام التحكم أعلاه في الشكل 2

(يمكنك فهم أن مسار الجذور يتم رسمه لدالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة (G(s)H(s)، ولكنه يعطي فكرة عن أقطاب دالة التحويل ذات الحلقة المغلقة، أي جذور المعادلة المميزة، والتي تُسمى أيضًا الأصفار للمعادلة المميزة.

يساعد مسار الجذور في تصميم قيمة 'K'، أي مكسب الضابط التناسبي). لذا، يكون النظام (في الشكل 1) مستقرًا بالنسبة للقيم مثل K= 0.2، 1، 5.8 وما إلى ذلك؛ ولكن ما القيمة التي يجب اختيارها. سنقوم بتحليل كل قيمة وعرض النتائج لك.

بشكل ملخص، يمكنك فهم أن القيمة العالية لـ 'K' (مثلًا، K=5.8) ستخفض الاستقرار (وهو عيب) ولكنها تحسن الأداء الثابت (أي تقليل الخطأ الثابت، وهو ميزة).

يمكنك فهم أن

، الخطأ الثابت (ess)= (وهو قابل للتطبيق في حالة الإدخال الخطوة)

، الخطأ الثابت (ess)= (ينطبق في حالة الإدخال الخطي)

، الخطأ الثابت (ess)= (ينطبق في حالة الإدخال القطعي)

يمكن ملاحظة أنه عند قيمة عالية لـ 'K'، ستكون قيم Kp و Kv و Ka عالية والخطأ الثابت سيكون منخفضًا.

الآن سنأخذ كل حالة ونشرح النتائج

1. عند K=0.2

في هذه الحالة، معادلة خصائص النظام هي s3+ 3s2+ 2s+0.2=0؛ جذور هذه المعادلة هي -2.088، -0.7909 و-0.1211؛ يمكننا تجاهل -2.088 (لأنه بعيد عن المحور التخيلي). بناءً على الجذرين المتبقيين، يمكن اعتباره نظامًا مفرط الدämping (بما أن كلا الجذرين حقيقيان وسالبان، ولا يوجد أجزاء تخيلية).

ضد الإدخال الدرجة الأولى، يتم عرض استجابته الزمنية في الشكل 3. يمكن رؤية أن الاستجابة لا تحتوي على اهتزازات. (إذا كانت الجذور معقدة فستظهر الاستجابة الزمنية اهتزازات). يكون للنظام المفرط الدämping دämping أكثر من '1'.

في الحالة الحالية، دالة التحويل للحلقة المفتوحة هي

هامش الكسب (GM)=29.5 ديسيبل، هامش الطور (PM)=81.5 درجة،

يجب ملاحظة أنه في تصميم أنظمة التحكم، لا يُفضل الأنظمة المفرطة الامتصاص. يجب أن يكون للجذور (أقطاب دالة التحويل للحلقة المغلقة) أجزاء تخيلية بسيطة.

في حالة النظام المفرط الامتصاص، يكون الامتصاص أكبر من '1'، بينما يُفضل أن يكون الامتصاص حوالي 0.8.

2. عند K=1

في هذه الحالة، معادلة الخصائص للنظام هي s3+ 3s2+ 2s+1=0؛ الجذور لهذه المعادلة هي -2.3247، -0.3376 ±j0.5623؛ يمكننا تجاهل -2.3247.

بناءً على الجذرين المتبقين، يمكن اعتباره نظاماً قليل الامتصاص (لأن كلا الجذرين معقدان ولديهما أجزاء حقيقية سالبة). ضد الإدخال الخطوة، فإن الرد الزمني له موضح في الشكل-4.

في الحالة الحالية، دالة التحويل المفتوحة هي

هامش المكسب (GM)=15.6 ديسيبل، هامش الطور (PM)=53.4 درجة،

3. عند K=5.8

نظرًا لأن 5.8 قريب جدًا من 6، يمكنك فهم أن النظام مستقر، لكنه تقريبًا على الحد. يمكنك إيجاد جذور معادلته المميزة.

يمكن تجاهل أحد الجذور، والجذرين المتبقيين سيكونان قريبين جدًا من المحور التخيلي. (جذور معادلته المميزة ستكون -2.9816، -0.0092±j1.39). ضد الإدخال الخطوي، فإن استجابته الزمنية موضحة في الشكل-5.

في الحالة الحالية، دالة التحويل المفتوحة هي

هامش المكسب=0.294 ديسيبل، هامش الطور =0.919 درجة

يمكن تحليله، بالمقارنة مع الحالات السابقة، تم تقليل GM و PM بشكل كبير. بما أن النظام قريب جدًا من عدم الاستقرار، فإن GM و PM قريبان جدًا من القيمة الصفرية.

متحكمات التكامل

كما يشير الاسم، في متحكمات التكامل يكون الإخراج (أو ما يسمى بالإشارة الفعالة) متناسبًا مباشرة مع تكامل إشارة الخطأ. الآن دعونا نحلل المتحكم التكاملي رياضيًا.

كما نعلم في متحكم تكاملي، فإن الإخراج يتناسب طردياً مع التكامل للإشارة الخطأ، وكتابة ذلك رياضياً يكون لدينا

إذا أزلنا علامة التناسب، فسيكون لدينا

حيث Ki هو ثابت تكاملي يعرف أيضاً بـ كسب المتحكم. المتحكم التكاملي يعرف أيضاً بمتحكم إعادة الضبط.

مزايا المتحكم التكاملي

بسبب قدرتها الفريدة، يمكن لمتحكمات التكامل أن تعيد المتغير المُتحكم فيه إلى نقطة الضبط الدقيقة بعد الاضطراب، لهذا السبب تعرف بمتحكمات إعادة الضبط.

عيوب المتحكم التكاملي

يميل إلى جعل النظام غير مستقر لأنه يستجيب ببطء نحو الخطأ المنتج.

المتحكمات المشتقة

لا نستخدم المتحكمات المشتقة بمفردها. يجب استخدامها بالاشتراك مع أنماط أخرى من المتحكمات بسبب بعض عيوبها المذكورة أدناه:

1. لا يحسن الخطأ الثابت.

2. ينتج تأثيرات التشبع ويضخم أيضاً إشارات الضوضاء المنتجة في النظام.

كما يشير الاسم، في المتحكم المشتق، فإن الإخراج (يسمى أيضاً بالإشارة الفعالة) يتناسب طردياً مع مشتق الإشارة الخطأ.

الآن دعونا نحلل المتحكم المشتق رياضياً. كما نعلم في المتحكم المشتق، فإن الإخراج يتناسب طردياً مع مشتق الإشارة الخطأ، وكتابة ذلك رياضياً يكون لدينا

عند إزالة علامة التناسب نحصل على

حيث Kd هو الثابت التناسبي المعروف أيضًا باسم مكسب المُتحكم. يعتبر المتحكم التفاضلي أيضًا بمثابة المتحكم السرعة.

مزايا المتحكم التفاضلي

الميزة الرئيسية للمتحكم التفاضلي هي أنه يحسن استجابة النظام العابرة.

المتحكم التناسبي والتكامل

كما يشير الاسم، فهو مزيج من المتحكم التناسبي والمتحكم التكاملي حيث يكون الإخراج (المعروف أيضًا باسم الإشارة الفعلية) مساوياً لمجموع الجزء التناسبي والتكامل للإشارة الخطأ.

الآن دعونا نحلل المتحكم التناسبي والتكامل رياضياً.

كما نعلم في المتحكم التناسبي والتكامل، فإن الإخراج يكون متناسباً مباشرة مع مجموع الجزء التناسبي للخطأ والتجميع للإشارة الخطأ، كتابة هذا رياضياً نحصل على

عند إزالة علامة التناسب نحصل على

حيث Ki و kp هما الثوابت التناسبية والتكاملية على التوالي.

المزايا والعيوب هي مزيج من مزايا وعيوب المتحكمين التناسبي والتكامل.

من خلال المتحكم PI، نضيف قطبًا واحدًا عند الأصل وزاوية واحدة في مكان ما بعيدًا عن الأصل (في الجانب الأيسر من المستوى المركب).

نظرًا لأن القطب يقع في الأصل، سيكون تأثيره أكبر، وبالتالي قد يقلل متحكم PI من الاستقرار؛ ولكن ميزة رئيسية له هي أنه يقلل بشكل كبير من الخطأ الثابت، ولذلك فهو أحد المتحكمات الأكثر استخدامًا على نطاق واسع.

يظهر مخطط التحكم PI في الشكل-6. ضد الإدخال النبضي، لقيم K=5.8، Ki=0.2، يتم عرض استجابته الزمنية في الشكل-7. عند K=5.8 (كما كان متحكم P، كان على حافة عدم الاستقرار، لذا ببساطة بإضافة قيمة صغيرة للجزء المتكامل، أصبح غير مستقر.

يرجى ملاحظة أن الجزء المتكامل يقلل من الاستقرار، وهذا لا يعني أن النظام سيكون دائمًا غير مستقر. في الحالة الحالية، أضفنا جزءًا متكاملًا وأصبح النظام غير مستقر).

متحكم التناسب والمشتق

كما يوحي الاسم، هو مزيج من المتحكم التناسبي والمتحكم المشتق حيث يكون الإخراج (المعروف أيضًا بالإشارة الفاعلة) مساويًا لمجموع الجزء التناسبي والمشتق من إشارة الخطأ. الآن دعنا نحلل المتحكم التناسبي والمشتق رياضيًا.

كما نعلم في المتحكم التناسبي والمشتق يكون الإخراج متناسبًا مباشرة مع مجموع الجزء التناسبي من الخطأ ومع مشتق إشارة الخطأ، كتابة هذا رياضيًا نحصل على،

بإزالة علامة التناسب نحصل على،

حيث، Kd و Kp هما الثوابت التناسبية والتفاضلية على التوالي.
مزايا وعيوب هي مزيج من مزايا وعيوب المتحكمات التناسبية والتفاضلية.

يجب على القراء ملاحظة أن إضافة 'صفر' في الموضع المناسب في دالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة تحسن الاستقرار، بينما قد يقلل إضافة القطب في دالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة من الاستقرار.

الكلمات "في الموضع المناسب" في الجملة أعلاه مهمة جداً وتسمى تصميم نظام التحكم (أي يجب إضافة الصفر والقطب في نقاط مناسبة في المستوى المعقد للحصول على النتيجة المرجوة).

إدراج متحكم PD يشبه إضافة صفر في دالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة [G(s)H(s)]. مخطط متحكم PD موضح في الشكل 8

في الحالة الحالية، لقد اخترنا قيم K=5.8، Td=0.5. استجابته الزمنية ضد الإدخال الخطوة موضحة في الشكل 9. يمكنك مقارنة الشكل 9 مع الشكل 5 لفهم تأثير إدراج الجزء التفاضلي في المتحكم P.

دالة التحويل لمتحكم PD هي K+Tds أو Td(s+K/Td)؛ لذا فقد أضفنا صفرًا واحدًا عند -K/Td. عن طريق التحكم في قيمة 'K' أو 'Td'، يمكن تحديد موقع 'الصفر'.

إذا كان 'الصفر' بعيدًا جدًا عن محور الأعداد التخيلية، فسيقل تأثيره، وإذا كان 'الصفر' على محور الأعداد التخيلية (أو قريب جدًا منه) فإنه لن يتم قبوله أيضًا (عادة ما يبدأ مسار الجذور من 'الأقطاب' ويختتم بـ 'الأصفار'، الهدف العام للمصمم هو أن لا يتجه مسار الجذور نحو محور الأعداد التخيلية، لهذا السبب فإن 'الصفر' القريب جدًا من محور الأعداد التخيلية غير مقبول، وبالتالي يجب أن يكون موقع 'الصفر' معتدلًا)

بشكل عام، يقال إن متحكم PD يحسن الأداء العابر بينما يحسن محكم PI الأداء الثابت لنظام التحكم.

متحكم التناسب والتكامل والتفاضل (PID Controller)

يُستخدم محكم PID بشكل عام في تطبيقات التحكم الصناعية لتنظيم درجة الحرارة والتدفق والضغط والسرعة وغيرها من المتغيرات العملية.

يمكن إيجاد دالة التحويل لمحكم PID كالتالي:

أو

يمكن ملاحظة أن هناك قطبًا واحدًا ثابتًا عند نقطة الأصل، بينما تحدد القيم Td، K، و Ki موقع صفرتين.

في هذه الحالة، يمكننا الحفاظ على صفرتين مركبتين أو صفرتين حقيقيتين حسب الحاجة، وبالتالي يمكن لمحكم PID توفير ضبط أفضل. في الأيام القديمة، كان محكم PI هو أحد أفضل الخيارات للمهندسين المختصين بالتحكم، لأن تصميم (ضبط البارامترات) لمحكم PID كان صعبًا بعض الشيء، ولكن في الوقت الحالي، بسبب تطور البرامج أصبح تصميم محكمات PID مهمة سهلة.

بالنسبة للإدخال الخطوة، فإن قيم K=5.8، Ki=0.2، و Td=0.5، فإن استجابته الزمنية موضحة في الشكل-11. قارن الشكل-11 مع الشكل-9 (لقد اخترنا قيمًا بحيث يمكن مقارنة جميع الاستجابات الزمنية).

إرشادات عامة لتصميم محكم PID

عند تصميم محكم PID لنظام معين، فإن الإرشادات العامة للحصول على الرد المطلوب هي كالتالي:

1. احصل على الرد العابر للدالة التحويلية ذات الحلقة المغلقة وحدد ما يجب تحسينه.

2. أدخل المحكم التناسبي، صمم قيمة 'K' من خلال روث هورويتز أو برنامج مناسب.

3. أضف الجزء التكاملي لتقليل الخطأ الثابت.

4. أضف الجزء التفاضلي لزيادة الامتصاص (يجب أن يكون الامتصاص بين 0.6-0.9). سيقلل الجزء التفاضلي من الزيادات والوقت العابر.

5. يمكن استخدام Sisotool المتاح في MATLAB للضبط المناسب والحصول على الرد العام المطلوب.

6. يرجى ملاحظة أن الخطوات السابقة لضبط المعلمات (تصميم نظام التحكم) هي إرشادات عامة. لا توجد خطوات ثابتة لتصميم المحاكمات.

محاكمات المنطق الضبابي

تُستخدم محاكمات المنطق الضبابي (FLC) حيث تكون الأنظمة غير خطية للغاية. بشكل عام، معظم الأنظمة الفيزيائية وأنظمة الطاقة الكهربائية غير خطية للغاية. لهذا السبب، تعتبر محاكمات المنطق الضبابي خيارًا جيدًا بين الباحثين.

لا يُحتاج إلى نموذج رياضي دقيق في FLC. يعمل بناءً على الخبرات السابقة، يمكنه التعامل مع عدم الخطية ويمكنه تقديم مقاومة أكبر للتشويش من معظم المحاكمات غير الخطية الأخرى.

يعتمد FLC على المجموعات الضبابية، أي فئات الأشياء التي يكون فيها الانتقال من العضوية إلى عدم العضوية سلسًا وليس مفاجئًا.

في التطورات الأخيرة، تفوقت محاكمات المنطق الضبابي على المحاكمات الأخرى في الأنظمة المعقدة وغير الخطية أو غير المحددة والتي يوجد لها معرفة عملية جيدة. لذلك، يمكن أن تكون حدود المجموعات الضبابية غامضة ومبهجة، مما يجعلها مفيدة لنماذج التقريب.

الخطوة المهمة في إجراءات تركيب المحكم الضبابي هي تحديد المتغيرات الدخل والخرج بناءً على الخبرات السابقة أو المعرفة العملية.

يتم ذلك وفقًا بالوظيفة المتوقعة للمحكم. لا توجد قواعد عامة لاختيار تلك المتغيرات، رغم أن المتغيرات المختارة عادةً هي حالات النظام الخاضع للتحكم، أخطاؤه، تغير الخطأ، وتراكم الخطأ.

بيان: احترم الأصلي، المقالات الجيدة تستحق المشاركة، إذا كان هناك انتهاك يرجى التواصل لحذفه.