Tipi di Controller | Controller Proporzionale Integrativo e Derivativo

Cos'è un controller?

Nei sistemi di controllo, un controller è un meccanismo che cerca di minimizzare la differenza tra il valore effettivo di un sistema (ovvero la variabile di processo) e il valore desiderato del sistema (ovvero il setpoint). I controller sono una parte fondamentale dell'ingegneria del controllo e vengono utilizzati in tutti i sistemi di controllo complessi.

Prima di introdurre nei dettagli vari tipi di controller, è essenziale conoscere gli utilizzi dei controller nella teoria dei sistemi di controllo. Gli usi importanti dei controller includono:

1. I controller migliorano l'accuratezza a stato stazionario riducendo l'errore a stato stazionario.

2. Con l'aumento dell'accuratezza a stato stazionario, aumenta anche la stabilità.

3. I controller aiutano anche a ridurre gli offset indesiderati prodotti dal sistema.

4. I controller possono controllare il sovraccarico massimo del sistema.

5. I controller possono aiutare a ridurre i segnali di rumore prodotti dal sistema.

6. I controller possono aiutare ad accelerare la risposta lenta di un sistema sovrasmorzato.

Diverse varietà di questi controller sono codificate all'interno di dispositivi industriali e automobilistici come i programmable logic controllers e i sistemi SCADA. I vari tipi di controller sono discussi in dettaglio di seguito.

Tipi di controller

Esistono due tipi principali di controller: i controller continui e i controller discontinui.

Nei controller discontinui, la variabile manipolata cambia tra valori discreti. A seconda di quanti stati diversi la variabile manipolata può assumere, si fa una distinzione tra controller a due posizioni, a tre posizioni e a più posizioni.

A confronto con i controller continui, i controller discontinui operano su elementi finali di controllo molto semplici, basati su interruttori.

La caratteristica principale dei controller continui è che la variabile controllata (nota anche come variabile manipolata) può avere qualsiasi valore all'interno dell'intervallo di uscita del controller.

Nella teoria dei controller continui, ci sono tre modalità di base su cui si basa l'intera azione di controllo, che sono:

1. Controller proporzionali.

2. Controller integrativi.

3. Controller derivativi.

Utilizziamo la combinazione di questi modi per controllare il nostro sistema in modo che la variabile del processo sia uguale al setpoint (o quanto più vicina possibile). Questi tre tipi di controller possono essere combinati in nuovi controller:

1. Controller proporzionali e integrativi (controller PI)

2. Controller proporzionali e derivativi (controller PD)

3. Controllo proporzionale integrale derivativo (controller PID)

Ora discuteremo dettagliatamente ciascuno di questi modi di controllo.

Controller proporzionali

Tutti i controller hanno un caso d'uso specifico per cui sono meglio adatti. Non possiamo semplicemente inserire qualsiasi tipo di controller in qualsiasi sistema e aspettarci un buon risultato – ci sono determinate condizioni che devono essere soddisfatte. Per un controller proporzionale, ci sono due condizioni e queste sono riportate di seguito:

1. La deviazione non dovrebbe essere grande; cioè, non dovrebbe esserci una grande deviazione tra l'ingresso e l'uscita.

2. La deviazione non dovrebbe essere improvvisa.

Ora siamo in condizione di discutere i controller proporzionali, come suggerisce il nome, in un controller proporzionale l'uscita (anche chiamata segnale attuatore) è direttamente proporzionale al segnale di errore. Ora analizziamo matematicamente il controller proporzionale. Come sappiamo, nell'uscita del controller proporzionale è direttamente proporzionale al segnale di errore, scrivendo questo matematicamente abbiamo,

Rimuovendo il segno di proporzionalità abbiamo,

Dove Kp è la costante proporzionale anche nota come guadagno del controller.

Si consiglia di mantenere Kp maggiore di unità. Se il valore di Kp è maggiore di unità (>1), allora amplificherà il segnale di errore e quindi il segnale di errore amplificato può essere rilevato facilmente.

Vantaggi del Controllore Proporzionale

Ora discutiamo alcuni vantaggi del controllore proporzionale.

1. Il controllore proporzionale aiuta a ridurre l'errore a stato stazionario, rendendo così il sistema più stabile.

2. La risposta lenta del sistema sovrasmorzato può essere resa più rapida con l'aiuto di questi controllori.

Svantaggi del Controllore Proporzionale

Ora ci sono alcuni svantaggi seri di questi controllori e questi sono riportati di seguito:

1. A causa della presenza di questi controllori, si ottengono alcuni offset nel sistema.

2. I controllori proporzionali aumentano anche il sovraccarico massimo del sistema.

Ora spiegheremo il Controllore Proporzionale (P-controller) con un esempio unico. Con questo esempio, la conoscenza del lettore sulla 'Stabilità' e sull'Errore a Stato Stazionario' sarà migliorata. Consideriamo il sistema di controllo a retroazione mostrato nella Figura-1

'K' è chiamato controllore proporzionale (anche noto come amplificatore di errore). L'equazione caratteristica di questo sistema di controllo può essere scritta come:

s3+3s2+2s+K=0

Se viene applicato il criterio di Routh-Hurwitz a questa equazione caratteristica, allora si può trovare che il range di 'K' per la stabilità è 0<K<6. (Ciò implica che per i valori K>6 il sistema sarà instabile; per il valore K=0, il sistema sarà marginalmente stabile).

Il luogo delle radici del sistema di controllo sopra menzionato è mostrato nella Figura-2

(Si può capire che il luogo delle radici è tracciato per la funzione di trasferimento a ciclo aperto (G(s)H(s)), ma fornisce un'idea sui poli della funzione di trasferimento a ciclo chiuso, cioè le radici dell'equazione caratteristica, anche chiamate zeri dell'equazione caratteristica.

Il luogo delle radici è utile per progettare il valore di 'K', cioè il guadagno del regolatore proporzionale). Quindi, il sistema (nella Figura-1) è stabile per valori come K= 0.2, 1, 5.8 ecc.; ma quale valore dovremmo selezionare. Analizzeremo ogni valore e vi mostreremo i risultati.

In sintesi, si può capire che un alto valore di 'K' (cioè, ad esempio, K=5.8) ridurrà la stabilità (è uno svantaggio) ma migliorerà le prestazioni a stato stazionario (cioè ridurrà l'errore a stato stazionario, che sarà un vantaggio).

Si può capire che

, errore a stato stazionario (ess)= (È applicabile nel caso di un ingresso a gradino)

, errore a regime (ess)= (è applicabile nel caso di ingresso rampa)

, errore a regime (ess)= (è applicabile nel caso di ingresso parabolico)

Si può osservare che per valori elevati di 'K', i valori di Kp, Kv e Ka saranno elevati e l'errore a regime sarà basso.

Ora analizzeremo ciascun caso e spiegheremo i risultati

1. A K=0.2

In questo caso, l'equazione caratteristica del sistema è s3+ 3s2+ 2s+0.2=0; le radici di questa equazione sono -2.088, -0.7909 e -0.1211; possiamo ignorare -2.088 (essendo lontano dall'asse immaginario). In base alle rimanenti due radici, si può definire come un sistema sovrasmorzato (poiché entrambe le radici sono reali e negative, senza parti immaginarie).

Contro un ingresso a gradino, la sua risposta nel tempo è mostrata nella Figura-3. Si può vedere che la risposta non presenta oscillazioni. (se le radici fossero complesse, la risposta nel tempo mostrerebbe oscillazioni). Il sistema sovrasmorzato ha un smorzamento superiore a '1'.

Nel caso attuale, la funzione di trasferimento ad anello aperto è

Il suo margine di guadagno (GM) = 29.5 dB, il margine di fase (PM) = 81.5°,

Si deve notare che nella progettazione dei sistemi di controllo, i sistemi sovrasmorzati non sono preferiti. Le radici (poli della funzione di trasferimento ad anello chiuso) dovrebbero avere parti immaginarie leggere.

Nel caso di un sistema sovrasmorzato, l'ammortizzamento è superiore a '1', mentre si preferisce un ammortizzamento intorno al 0.8.

2. A K=1

In questo caso, l'equazione caratteristica del sistema è s3+ 3s2+ 2s+1=0; le radici di questa equazione sono -2.3247, -0.3376 ±j0.5623; possiamo ignorare -2.3247.

Sulla base delle rimanenti due radici, può essere definito come un sistema sottosmorzato (poiché entrambe le radici sono complesse con parti reali negative). Contro un ingresso a gradino, la sua risposta nel tempo è mostrata nella Fig-4.

Nel caso presente, la funzione di trasferimento ad anello aperto è

Il suo margine di guadagno (GM) = 15,6 dB, il margine di fase (PM) = 53,4°,

3. A K=5,8

Poiché 5,8 è molto vicino a 6, si può capire che il sistema è stabile, ma quasi al limite. È possibile trovare le radici della sua equazione caratteristica.

Una radice può essere ignorata, le due radici rimanenti saranno molto vicine all'asse immaginario. (Le radici della sua equazione caratteristica saranno -2,9816, -0,0092±j1,39). Rispetto all'ingresso a gradino, la risposta nel tempo è mostrata nella Figura-5.

Nel caso presente, la funzione di trasferimento ad anello aperto è

Il suo margine di guadagno = 0,294 dB, il margine di fase = 0,919°

Si può analizzare, rispetto ai casi precedenti, GM e PM sono drasticamente ridotti. Poiché il sistema è molto vicino all'instabilità, GM e PM sono anche molto vicini a zero.

Controllori integrali

Come suggerisce il nome, nei controllori integrali l'uscita (chiamata anche segnale di azionamento) è direttamente proporzionale all'integrale del segnale di errore. Ora analizziamo matematicamente i controllori integrali.

Come sappiamo, in un controllore integrale l'uscita è direttamente proporzionale all'integrazione del segnale di errore, scrivendo questo matematicamente abbiamo,

Rimuovendo il segno di proporzionalità otteniamo,

Dove Ki è una costante integrale nota anche come guadagno del controllore. Il controllore integrale è anche noto come controllore di reset.

Vantaggi del Controllore Integrale

Grazie alla loro capacità unica, i Controllori Integrali possono riportare la variabile controllata esattamente al punto di riferimento dopo una perturbazione, per questo motivo sono noti come controllori di reset.

Svantaggi del Controllore Integrale

Tende a rendere il sistema instabile perché risponde lentamente all'errore prodotto.

Controllori Derivativi

Non usiamo mai i controllori derivativi da soli. Dovrebbero essere utilizzati in combinazione con altri tipi di controllori a causa di alcuni svantaggi che sono elencati di seguito:

1. Non migliora l'errore a stato stazionario.

2. Produce effetti di saturazione e amplifica anche i segnali di rumore prodotti nel sistema.

Ora, come suggerisce il nome, in un controllore derivativo l'uscita (chiamata anche segnale di azionamento) è direttamente proporzionale alla derivata del segnale di errore.

Analizziamo ora matematicamente il controllore derivativo. Come sappiamo, in un controllore derivativo l'uscita è direttamente proporzionale alla derivata del segnale di errore, scrivendo questo matematicamente abbiamo,

Rimuovendo il segno di proporzionalità, otteniamo,

Dove, Kd è una costante proporzionale, anche nota come guadagno del controllore. Il controllore derivativo è anche noto come controllore di tasso.

Vantaggi del Controllore Derivativo

Il principale vantaggio del controllore derivativo è che migliora la risposta transitoria del sistema.

Controllore Proporzionale e Integrativo

Come suggerisce il nome, si tratta di una combinazione di un controllore proporzionale e un controllore integrativo, l'uscita (anche chiamata segnale d'azione) è uguale alla somma del termine proporzionale e dell'integrale del segnale di errore.

Ora analizziamo matematicamente il controllore proporzionale e integrativo.

Sappiamo che in un controllore proporzionale e integrativo l'uscita è direttamente proporzionale alla somma del termine proporzionale dell'errore e all'integrale del segnale di errore, scrivendo questo matematicamente, otteniamo,

Rimuovendo il segno di proporzionalità, otteniamo,

Dove, Ki e kp sono rispettivamente la costante proporzionale e la costante integrativa.

I vantaggi e gli svantaggi sono una combinazione dei vantaggi e degli svantaggi dei controllori proporzionali e integrativi.

Attraverso il controllore PI, stiamo aggiungendo un polo all'origine e uno zero da qualche parte lontano dall'origine (nel lato sinistro del piano complesso).

Poiché il polo si trova all'origine, il suo effetto sarà maggiore, pertanto il regolatore PI potrebbe ridurre la stabilità; ma il suo principale vantaggio è che riduce drasticamente l'errore a stato stazionario, per questo motivo è uno dei regolatori più ampiamente utilizzati.

Il diagramma schematico del regolatore PI è mostrato nella Fig-6. Per un ingresso a gradino, con i valori K=5.8, Ki=0.2, la sua risposta temporale è mostrata nella Fig-7. A K=5.8 (come un regolatore P, era al limite dell'instabilità, quindi aggiungendo un piccolo valore della parte integrale, divenne instabile.

Si noti che la parte integrale riduce la stabilità, il che non significa che il sistema sarà sempre instabile. Nel caso presente, abbiamo aggiunto una parte integrale e il sistema è diventato instabile).

Regolatore Proporzionale e Derivativo

Come suggerisce il nome, è una combinazione di un regolatore proporzionale e derivativo, l'uscita (anche chiamata segnale di azionamento) è uguale alla somma del termine proporzionale e della derivata del segnale di errore. Ora analizziamo matematicamente il regolatore proporzionale e derivativo.

Come sappiamo, in un regolatore proporzionale e derivativo, l'uscita è direttamente proporzionale alla somma del termine proporzionale dell'errore e alla derivata del segnale di errore, scrivendolo matematicamente, abbiamo,

Rimuovendo il segno di proporzionalità, otteniamo,

Dove, Kd e Kp sono rispettivamente la costante proporzionale e la costante derivativa.
I vantaggi e gli svantaggi sono combinazioni dei vantaggi e degli svantaggi dei controllori proporzionali e derivativi.

Si noti che l'aggiunta di 'zero' nella posizione corretta della funzione di trasferimento a loop aperto migliora la stabilità, mentre l'aggiunta di un polo nella funzione di trasferimento a loop aperto può ridurre la stabilità.

Le parole "nella posizione corretta" nella frase sopra menzionata sono molto importanti e vengono chiamate progettazione del sistema di controllo (cioè sia lo zero che il polo dovrebbero essere aggiunti nei punti corretti nel piano complesso per ottenere il risultato desiderato).

Inserire il controllore PD è come l'aggiunta di uno zero nella funzione di trasferimento a loop aperto [G(s)H(s)]. Il diagramma del controllore PD è mostrato in Fig-8

Nel caso attuale, abbiamo preso i valori di K=5.8, Td=0.5. La sua risposta temporale, contro un ingresso a gradino, è mostrata in Fig-9. Puoi confrontare la Fig-9 con la Fig-5 e capire l'effetto dell'inserimento della parte derivativa nel controllore P.

La funzione di trasferimento del controllore PD è K+Tds o Td(s+K/Td); quindi abbiamo aggiunto uno zero a -K/Td. Controllando il valore di 'K' o 'Td', si può decidere la posizione dello 'zero'.

Se 'zero' è molto lontano dall'asse immaginario, la sua influenza diminuirà, se 'zero' è sull'asse immaginario (o molto vicino all'asse immaginario) non sarà accettato (la loca radice generalmente inizia dai 'poli' e termina agli 'zeri', l'obiettivo del progettista è generalmente che la loca radice non vada verso l'asse immaginario, per questo motivo 'zero' molto vicino all'asse immaginario non è accettabile, pertanto una posizione moderata di 'zero' dovrebbe essere mantenuta)

In generale, si dice che il controllore PD migliora le prestazioni transitorie e il controllore PI migliora le prestazioni a stato stazionario di un sistema di controllo.

Controllore Proporzionale più Integrativo più Derivativo (PID Controller)

Un controllore PID viene generalmente utilizzato nelle applicazioni industriali di controllo per regolare la temperatura, il flusso, la pressione, la velocità e altre variabili di processo.

La funzione di trasferimento del controllore PID può essere trovata come:

o

Si può osservare che un polo all'origine è fisso, mentre i parametri rimanenti Td, K e Ki decidono la posizione dei due zeri.

In questo caso, possiamo mantenere due zeri complessi o due zeri reali a seconda delle esigenze, quindi il controllore PID può fornire una migliore taratura. In passato, il controllore PI era una delle migliori scelte degli ingegneri di controllo, poiché la progettazione (taratura dei parametri) del controllore PID era un po' difficile, ma oggi, grazie allo sviluppo del software, la progettazione dei controllori PID è diventata un'attività facile.

Per un ingresso a gradino, per i valori K=5.8, Ki=0.2 e Td=0.5, la risposta temporale è mostrata nella Fig-11. Confronta la Fig-11 con la Fig-9 (abbiamo preso i valori in modo tale da poter confrontare tutte le risposte temporali).

Linee guida generali per la progettazione di un controllore PID

Quando si progetta un controllore PID per un sistema specifico, le linee guida generali per ottenere la risposta desiderata sono le seguenti:

1. Ottieni la risposta transitoria della funzione di trasferimento a ciclo chiuso e determina ciò che deve essere migliorato.

2. Inserisci il controllore proporzionale, progetta il valore di 'K' attraverso Routh-Hurwitz o software adatto.

3. Aggiungi una parte integrale per ridurre l'errore a stato stazionario.

4. Aggiungi la parte derivativa per aumentare l'amortizzazione (l'amortizzazione dovrebbe essere compresa tra 0,6 e 0,9). La parte derivativa ridurrà gli overshoot e il tempo transitorio.

5. Sisotool, disponibile in MATLAB, può essere utilizzato anche per una regolazione appropriata e per ottenere una risposta complessiva desiderata.

6. Si prega di notare che i passaggi sopra descritti per la regolazione dei parametri (progettazione di un sistema di controllo) sono linee guida generali. Non esistono passaggi fissi per la progettazione dei controllori.

Controllori logici fuzzy

I controllori logici fuzzy (FLC) vengono utilizzati dove i sistemi sono altamente non lineari. Generalmente, la maggior parte dei sistemi fisici/sistemi elettrici sono altamente non lineari. Per questo motivo, i controllori logici fuzzy sono una buona scelta tra i ricercatori.

Un modello matematico accurato non è necessario nei FLC. Funzionano basandosi su input basati su esperienze passate, possono gestire le non linearità e possono presentare una insensibilità ai disturbi maggiore della maggior parte degli altri controllori non lineari.

Il FLC si basa su insiemi sfocati, cioè classi di oggetti in cui la transizione da appartenenza a non appartenenza è morbida piuttosto che brusca.

Nelle sviluppi recenti, il FLC ha superato altri controllori in sistemi complessi, non lineari o indefiniti per i quali esiste una buona conoscenza pratica. Pertanto, i confini degli insiemi sfocati possono essere vaghi e ambigui, rendendoli utili per modelli di approssimazione.

Il passaggio importante nella procedura di sintesi del controllore fuzzy è definire le variabili di ingresso e uscita in base alle esperienze precedenti o alla conoscenza pratica.

Questo viene fatto in accordo con la funzione prevista del controllore. Non esistono regole generali per selezionare queste variabili, sebbene tipicamente le variabili scelte siano gli stati del sistema controllato, i loro errori, la variazione dell'errore e l'accumulo dell'errore.

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