Типи контролерів | Пропорційні інтегральні та диференціальні контролери

Поле: Основи електротехніки

China

Що таке контролер?

У системах керування контролер — це механізм, який намагається мінімізувати різницю між фактичним значенням системи (тобто процесною змінною) та бажаним значенням системи (тобто заданим значенням). Контролери є фундаментальною частиною інженерії керування та використовуються у всіх складних системах керування.

Перед тим, як ми детально ознайомимо вас з різними контролерами, важливо знати про застосування контролерів в теорії систем керування. Важливими застосуваннями контролерів є:

Контролери покращують точність стаціонарного стану, зменшуючи похибку стаціонарного стану.
З покращенням точності стаціонарного стану стабільність також підвищується.
Контролери також допомагають зменшити небажані зсуви, що виникають в системі.
Контролери можуть контролювати максимальний перевищення системи.
Контролери можуть допомогти зменшити шумові сигнали, що виникають в системі.
Контролери можуть прискорити повільну реакцію перетвореної системи.

Різні види цих контролерів кодифіковані в промислових автомобільних пристроях, таких як програмовані логічні контролери та системи SCADA. Різні типи контролерів детально обговорюються нижче.

Типи контролерів

Існує два основних типи контролерів: безперервні контролери та дискретні контролери.

У дискретних контролерах змінювана змінна змінюється між дискретними значеннями. Залежно від того, скільки різних станів може приймати змінювана змінна, розрізняються контролери з двома позиціями, три позиції та багатопозиційні контролери.

Порівняно з безперервними контролерами, дискретні контролери працюють на дуже простих, комутаційних елементах кінцевого керування.

Основною характеристикою безперервних контролерів є те, що змінна, яка керується (також відома як змінювана змінна), може мати будь-яке значення в діапазоні виводу контролера.

Тепер у теорії безперервного керування існують три основні режими, на яких здійснюється весь процес керування, а саме:

Пропорційні контролери.
Інтегральні регулятори.
Диференціальні регулятори.

Ми використовуємо комбінацію цих режимів для керування нашою системою так, щоб процесна змінна дорівнювала заданому значенню (або була якомога ближчою до нього). Ці три типи регуляторів можуть бути об'єднані в нові регулятори:

Пропорційний та інтегральний регулятори (PI-регулятор)
Пропорційний та диференціальний регулятори (PD-регулятор)
Пропорційно-інтегрально-диференціальний контроль (PID-регулятор)

Нижче ми детально розглянемо кожен з цих режимів керування.

Пропорційні регулятори

Усі регулятори мають конкретну область застосування, до якої вони найкраще підходять. Ми не можемо просто вставити будь-який тип регулятора в будь-яку систему і очікувати хороший результат – повинні бути виконані певні умови. Для пропорційного регулятора, існують дві умови, які наведені нижче:

Відхилення не повинно бути великим; тобто не повинно бути великої різниці між входом та виходом.
Відхилення не повинно бути раптовим.

Тепер ми готові обговорити пропорційні регулятори. Як видно з назви, у пропорційному регуляторі вихід (також відомий як сигнал актуючого) прямо пропорційний до сигналу помилки. Розглянемо математично пропорційний регулятор. Як відомо, у пропорційному регуляторі вихід прямо пропорційний до сигналу помилки, записавши це математично, отримаємо,

Прибравши знак пропорційності, отримаємо,

Де Kp — пропорційна константа, також відома як коефіцієнт підсилення регулятора.

Рекомендується, щоб Kp був більшим за одиницю. Якщо значення Kp більше за одиницю (>1), то це збільшить сигнал помилки, і таким чином, збільшений сигнал помилки можна легко виявити.

Переваги пропорційного регулятора

Тепер розглянемо деякі переваги пропорційного регулятора.

Пропорційний регулятор допомагає зменшити стаціонарну помилку, що робить систему більш стабільною.
Завдяки цим регуляторам можна зробити швидшу реакцію надстійної системи.

Недоліки пропорційного регулятора

Наразі є деякі серйозні недоліки цих регуляторів, які наведено нижче:

Завдяки наявності цих регуляторів у системі виникають деякі зсуви.
Пропорційні регулятори також збільшують максимальне перевищення системи.

Зараз ми пояснимо пропорційний регулятор (P-регулятор) на прикладі. Цей приклад підвищити знання читача про «Стабільність» та «Стаціонарну помилку». Розгляньте систему керування зі зворотним зв'язком, показану на рисунку-1

пропорційний регулятор схема блок-діаграми підсилювача помилки — Рисунок-1: Система керування зі зворотним зв'язком з пропорційним регулятором

«K» називається пропорційним регулятором (також відомий як підсилювач помилки). Характеристичне рівняння цієї системи керування можна записати так:

s3+3s2+2s+K=0

Якщо застосувати критерій Рута-Гурвіца до цього характеристичного рівняння, то можна знайти діапазон 'K' для стабільності як 0<K<6. (Це означає, що при значеннях K>6 система буде нестабільною; при значенні K=0, система буде на межі стабільності).

Кореневий локус вищенаведеної системи контролю показаний на рисунку 2

Root locus proportional controller time response — Рисунок 2: Кореневий локус системи, показаної на рисунку 1, кореневий локус дає ідею про те, яке має бути значення 'K'

(Ви можете зрозуміти, що кореневий локус малюється для відкритої петлі передавальної функції (G(s)H(s), але він дає ідею про полюси замкнутої петлі передавальної функції, тобто корені характеристичного рівняння, також відомі як нулі характеристичного рівняння.

Кореневий локус допомагає у проектуванні значення 'K', тобто коефіцієнта пропорційного регулятора). Отже, система (на рисунку 1) стабільна при значеннях, таких як K= 0.2, 1, 5.8 тощо; але яке значення ми повинні вибрати. Ми проаналізуємо кожне значення і покажемо вам результати.

В якості підсумку, ви можете зрозуміти, що велике значення 'K' (наприклад, K=5.8) зменшить стабільність (це недолік), але покращить стаціонарну роботу (тобто зменшить стаціонарну помилку, що буде перевагою).

Ви можете зрозуміти, що

$K_p =\lim_{s\rightarrow 0}KG(s)H(s)$ , Стаціонарна помилка (ess)= $\frac{1}{1+K_p}$ (Це застосовується у випадку ступінчастого входу)

$K_v =\lim_{s\rightarrow 0}sKG(s)H(s)$ , постійна помилка (ess)= $\frac{1}{K_v}$ (Це застосовується у випадку лінійного входу)

$K_a =\lim_{s\rightarrow 0}s^2KG(s)H(s)$ , постійна помилка (ess)= $\frac{1}{K_a}$ (Це застосовується у випадку параболічного входу)

Можна спостерігати, що при високих значеннях 'K', значення Kp, Kv та Ka будуть високими, а постійна помилка буде низькою.

Тепер розглянемо кожен випадок і пояснимо результати

1. При K=0.2

У цьому випадку характеристичне рівняння системи s3+ 3s2+ 2s+0.2=0; корені цього рівняння -2.088, -0.7909 та -0.1211; Ми можемо знехтувати -2.088 (оскільки він далеко від уявної осі). На основі двох залишених коренів, це можна назвати перетвореною системою (оскільки обидва корені дійсні і від'ємні, без уявних частин).

На етапі входу, його часовий відгук показаний на рис. 3. Можна побачити, що відгук не має коливань. (якщо корені комплексні, то часовий відгук демонструє коливання). Перетворена система має гасіння більше '1'.

Часова відповідь перевищено затухаючого пропорційного контролера — Рисунок-3: Відповідь не має коливань, це відповідь перевищено затухаючої системи

У даному випадку відкрите керування передавальною функцією є $G(s)H(s)=\frac{0.2}{s(s+1)(s+2)}$

Її запас по амплітуді (GM) = 29.5 дБ, запас по фазі (PM) = 81.5°,

Потрібно звернути увагу, що при проектуванні систем керування, перевищено затухаючі системи не віддаються переваги. Корені (полюси замкнутої передавальної функції) повинні мати невеликі уявні частини.

У випадку перевищено затухаючих систем, затухання більше за '1', тоді як затухання близьке до 0.8 є бажаним.

2. При K=1

У цьому випадку характеристичне рівняння системи є s3+ 3s2+ 2s+1=0; корені цього рівняння -2.3247, -0.3376 ±j0.5623; Ми можемо ігнорувати -2.3247.

На основі двох залишених коренів, це можна назвати недостатньо затухаючою системою (оскільки обидва корені комплексні з від'ємними дійсними частинами). Проти ступінчатого входу, її часовий відгук показаний на Рис. 4.

Часова відповідь недостатньо затухаючого контролера — Рисунок-4: Відповідь має коливання, це відповідь недостатньо затухаючої системи

У даному випадку відкрите керування передавальною функцією є $G(s)H(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}$

Її запас по амплітуді (GM)=15.6 дБ, запас по фазі (PM)=53.4°,

3. При K=5.8

Оскільки 5.8 дуже близьке до 6, то можна зрозуміти, що система стабільна, але майже на межі. Ви можете знайти корені її характеристичного рівняння.

Один корінь можна ігнорувати, залишаються два корені, які будуть дуже близькі до уявної осі. (Корені її характеристичного рівняння будуть -2.9816, -0.0092±j1.39). На дії ступінчатого входу, її часовий відгук показаний на рис. 5.

Transient response underdamped controller — Рис. 5: Відгук має коливання, це відгук недостатньо загальмованої системи (Відгук на рис. 4 також належить до недостатньо загальмованої системи)

У даному випадку відкрите керування передавальною функцією є $G(s)H(s)=\frac{5.8}{s(s+1)(s+2)}$

Її запас по амплітуді=0.294 дБ, запас по фазі =0.919°

Можна проаналізувати, що порівняно з попередніми випадками, GM і PM значно зменшилися. Оскільки система дуже близька до нестабільності, то GM і PM також дуже близькі до нульового значення.

Інтегральні регулятори

Як видно з назви, у інтегральних регуляторах вихід (також відомий як сигнал управління) прямо пропорційний інтегралу сигналу помилки. Тепер давайте проаналізуємо інтегральний регулятор математично.

Як відомо, у інтегральному регуляторі вихідний сигнал пропорційний інтегралу сигналу помилки, що математично можна записати так,

Видаливши знак пропорційності, отримаємо,

Де Ki — це інтегральна стала, також відома як коефіцієнт підсилення регулятора. Інтегральний регулятор також відомий як регулятор зворотного введення.

Переваги інтегрального регулятора

Завдяки своїй унікальній здібності, інтегральні регулятори можуть повернути керований параметр точно до заданого значення після збурення, тому вони відомі як регулятори зворотного введення.

Недоліки інтегрального регулятора

Він схиляється до нестабільності системи, оскільки повільно реагує на виникшу помилку.

Похідні регулятори

Ми ніколи не використовуємо похідні регулятори окремо. Вони повинні використовуватися в поєднанні з іншими типами регуляторів через деякі недоліки, які наведені нижче:

Вони не покращують стаціонарну помилку.
Вони викликають ефект насичення та підсилюють шумові сигнали, що виникають в системі.

Як видно з назви, у похідному регуляторі вихідний сигнал (також відомий як сигнал дії) пропорційний похідній сигналу помилки.

Тепер розглянемо похідний регулятор математично. Як відомо, у похідному регуляторі вихідний сигнал пропорційний похідній сигналу помилки, що математично можна записати так,

Позбавляючись знаку пропорційності, ми отримуємо,

Де Kd - це постійна пропорційності, також відома як коефіцієнт підсилення регулятора. Диференціальний регулятор також відомий як регулятор швидкості.

Переваги диференціального регулятора

Основною перевагою диференціального регулятора є покращення перехідної характеристики системи.

Пропорційний та інтегральний регулятор

Як видно з назви, це комбінація пропорційного та інтегрального регуляторів, при якій вихід (також відомий як сигнал управління) дорівнює сумі пропорційної та інтегральної частини сигнала помилки.

Тепер розглянемо пропорційний та інтегральний регулятор математично.

Як відомо, у пропорційному та інтегральному регуляторі вихід прямо пропорційний сумі пропорційної частини помилки та інтеграції сигнала помилки. Записавши це математично, ми отримуємо,

Позбавляючись знаку пропорційності, ми отримуємо,

Де, Ki та kp - це постійні пропорційності та інтегрування відповідно.

Переваги та недоліки є комбінацією переваг та недоліків пропорційних та інтегральних регуляторів.

Завдяки PI-регулятору, ми додаємо один полюс на початку координат та один нуль деякій відстані від початку координат (зліва від комплексної площини).

Оскільки стовпець знаходиться в початку координат, його вплив буде більшим, тому регулятор ПІ може зменшити стійкість; але його основна перевага полягає в тому, що він драстично знижує стаціонарну помилку, завдяки чому це один із найширше використовуваних регуляторів.

Схема регулятора ПІ показана на рис. 6. На кроковий вхід, для значень K=5.8, Ki=0.2, його часовий відгук показано на рис. 7. При K=5.8 (як P-регулятор, він був на межі нестабільності, тому просто додавши невелике значення інтегральної частини, система стала нестабільною.

Зверніть увагу, що інтегральна частина зменшує стійкість, що не означає, що система завжди буде нестабільною. У даному випадку, ми додали інтегральну частину, і система стала нестабільною).

Integral Controller time response — Рис. 6: Замкнута система керування з регулятором ПІ

Integral controller response — Рис. 7: Відгук системи, показаної на рис. 6, при K=5.8, Ki=0.2

Пропорційний та диференційний регулятор

Як видно з назви, це комбінація пропорційного та диференційного регулятора, вихід (також відомий як сигнал управління) дорівнює сумі пропорційної та диференційної частини сигналу помилки. Тепер проаналізуємо пропорційний та диференційний регулятор математично.

Як відомо, у пропорційному та диференційному регуляторі вихід прямо пропорційний сумі пропорційної частини помилки та диференційної частини сигналу помилки, записуючи це математично, ми маємо,

Прибравши знак пропорційності, ми отримуємо,

Де Kd та Kp — це відповідно постійні пропорційності та диференціальні коефіцієнти.
Переваги та недоліки є комбінацією переваг та недоліків пропорційних та диференціальних регуляторів.

Читачам слід звернути увагу, що додавання «нуля» на правильному місці в передавальній функції відкритого контуру покращує стійкість, тоді як додавання полюсу в передавальній функції відкритого контуру може зменшити стійкість.

Слова «на правильному місці» у попередньому реченні є дуже важливими, і це називається проектуванням системи керування (тобто нуль і полюс повинні бути додані на правильних точках у комплексній площині, щоб отримати бажаний результат).

Вставка PD-регулятора схожа на додавання нуля в передавальній функції [G(s)H(s)]. Схема PD-регулятора показана на рис. 8

Пропорційний диференціальний регулятор — Рис. 8: Закрита система керування з PD-регулятором

У даному випадку ми взяли значення K=5.8, Td=0.5. Його часовий відгук на ступінчастий сигнал показаний на рис. 9. Ви можете порівняти рис. 9 з рис. 5 і зрозуміти вплив вставки диференціальної частини в P-регулятор.

Часовий відгук пропорційного диференціального регулятора — Рис. 9: Відгук системи, показаної на рис. 8, при K=5.8, Td=0.5

Передавальна функція PD-регулятора є K+Tds або Td(s+K/Td); тому ми додали один нуль у -K/Td. Контролюючи значення 'K' або 'Td', можна визначити положення 'нуля'.

Якщо 'нуль' знаходиться дуже далеко від уявної осі, його вплив зменшиться, якщо 'нуль' знаходиться на уявній осі (або дуже близько до неї), це також буде неприйнятним (коренева локус загалом починається з 'полюсів' і закінчується на 'нулі', мета дизайнера — це так, щоб коренева локус не прямувала до уявної осі, через це 'нуль' дуже близько до уявної осі також неприпустимий, тому 'нуль' повинен бути на середньому положенні)

Зазвичай говорять, що регулятор PD покращує перехідну характеристику, а регулятор PI — стаціонарну характеристику системи керування.

Пропорційний плюс інтегральний плюс диференційний регулятор (PID-регулятор)

PID-регулятор зазвичай використовується в промислових системах керування для регулювання температури, потоку, тиску, швидкості та інших процесних змінних.

PID Controller, Proportional integral derivative controller — Рисунок-10: Замкнута система керування з PID-регулятором

Передаточна функція PID-регулятора може бути представлена так:

$Tds+K+\frac{Ki}{s}$ або $\frac{Tds^2+Ks+ Ki }{s}$

Можна спостерігати, що один полюс на початку координат є фіксованим, а решта параметри Td, K, та Ki визначають положення двох нулів.

У цьому випадку, ми можемо зберегти два комплексні нулі або два реальні нулі за потребою, тому PID-регулятор може забезпечити краще налаштування. У минулому, регулятор PI був одним з найкращих виборів інженерів керування, оскільки проектування (налashтування параметрів) PID-регулятора було трохи складним, але сьогодні, завдяки розвитку програмного забезпечення, проектування PID-регуляторів стало простішим завданням.

Для ступінчастого входу, при значеннях K=5.8, Ki=0.2, та Td=0.5, його часовий відгук показано на Рис-11. Порівняйте Рис-11 з Рис-9 (ми взяли значення так, щоб всі часові відгуки могли бути порівняні).

Часова відповідь ПІД-контролера — Рисунок-11: Відповідь системи, показаної на рисунку-10, з K=5.8, Td=0.5, Ki=0.2

Загальні рекомендації для проектування ПІД-контролера

При проектуванні ПІД-контролера для певної системи, загальні рекомендації для досягнення бажаної відповіді такі:

Отримайте перехідну характеристику замкнутої передавальної функції та визначте, що потрібно покращити.
Вставте пропорційний контролер, розрахуйте значення 'K' за допомогою критерію Раута-Гурвіца або відповідного програмного забезпечення.
Додайте інтегральну частину, щоб зменшити статичну похибку.
Додайте диференціальну частину, щоб збільшити демпфування (демпфування має бути між 0.6-0.9). Диференціальна частина зменшить перевищення та перехідний час.
Sisotool, доступний у MATLAB, також може бути використаний для правильного налаштування та отримання бажаної загальної відповіді.
Зверніть увагу, що вищезазначені кроки налаштування параметрів (проектування системи керування) є загальними рекомендаціями. Немає фіксованих кроків для проектування контролерів.

Контролери на основі нечіткої логіки

Контролери на основі нечіткої логіки (FLC) використовуються, коли системи є сильно нелінійними. Зазвичай більшість фізичних систем/електричних систем є сильно нелінійними. З цієї причини, контролери на основі нечіткої логіки є хорошим вибором серед дослідників.

Точна математична модель не потрібна в FLC. Вони працюють на основі вхідних даних, залежних від минулих досвідів, можуть обробляти нелінійності та можуть надати більшу стійкість до збурень, ніж більшість інших нелінійних контролерів.

FLC базується на нечітких множинах, тобто класах об'єктів, в яких переход від належності до невідносності є плавним, а не гострим.

У недавніх розробках, FLC перевершив інші контролери у складних, нелінійних або невизначених системах, для яких існує добре практичне знання. Тому межі нечітких множин можуть бути невизначені та двозначні, що робить їх корисними для наближених моделей.

Важливим кроком у процедурі синтезу нечіткого контролера є визначення вхідних та вихідних змінних на основі минулих досвідів або практичного знання.

Це робиться відповідно до очікуваної функції контролера. Немає загальних правил для вибору цих змінних, хоча зазвичай вибираються станами керованої системи, їх похибки, зміна похибки та її накопичення.

Заява: Поважайте оригінал, хороші статті варто поширювати, у разі порушення авторських прав зверніться для видалення.

Дайте гонорар та підтримайте автора

Теми:

Енергетичні системи

Системи керування

Про експертів

Electrical4u

China