Tipos de Controladores | Controladores Proporcional Integral e Derivativo

Campo: Eletricidade Básica

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O que é um Controlador?

Em sistemas de controle, um controlador é um mecanismo que busca minimizar a diferença entre o valor real do sistema (ou seja, a variável de processo) e o valor desejado do sistema (ou seja, o ponto de ajuste). Os controladores são uma parte fundamental da engenharia de controle e são usados em todos os sistemas de controle complexos.

Antes de introduzir você a vários controladores em detalhes, é essencial conhecer as utilizações dos controladores na teoria dos sistemas de controle. As utilizações importantes dos controladores incluem:

Os controladores melhoram a precisão no estado estacionário diminuindo o erro no estado estacionário.
À medida que a precisão no estado estacionário melhora, a estabilidade também melhora.
Os controladores também ajudam a reduzir os desvios indesejados produzidos pelo sistema.
Os controladores podem controlar o sobressinal máximo do sistema.
Os controladores podem ajudar a reduzir os sinais de ruído produzidos pelo sistema.
Os controladores podem ajudar a acelerar a resposta lenta de um sistema superamortecido.

Diferentes variedades desses controladores são codificadas em dispositivos automotivos industriais, como controladores lógicos programáveis e sistemas SCADA. Os diversos tipos de controladores são discutidos em detalhes abaixo.

Tipos de Controladores

Existem dois tipos principais de controladores: controladores contínuos e controladores descontínuos.

Nos controladores descontínuos, a variável manipulada muda entre valores discretos. Dependendo de quantos estados diferentes a variável manipulada pode assumir, faz-se uma distinção entre controladores de duas posições, três posições e multi-posições.

Comparados aos controladores contínuos, os controladores descontínuos operam com elementos finais de controle muito simples, de chaveamento.

A principal característica dos controladores contínuos é que a variável controlada (também conhecida como variável manipulada) pode ter qualquer valor dentro da faixa de saída do controlador.

Agora, na teoria dos controladores contínuos, existem três modos básicos nos quais toda a ação de controle se baseia, que são:

Controladores proporcionais.
Controladores integrais.
Controladores derivativos.

Usamos a combinação desses modos para controlar nosso sistema de modo que a variável de processo seja igual ao ponto de ajuste (ou tão próxima quanto possível). Esses três tipos de controladores podem ser combinados em novos controladores:

Controladores proporcionais e integrais (Controlador PI)
Controladores proporcionais e derivativos (Controlador PD)
Controle proporcional integral derivativo (Controlador PID)

Agora, discutiremos cada um desses modos de controle detalhadamente abaixo.

Controladores Proporcionais

Todos os controladores têm um caso de uso específico para o qual são mais adequados. Não podemos simplesmente inserir qualquer tipo de controlador em qualquer sistema e esperar um bom resultado – há certas condições que devem ser atendidas. Para um controlador proporcional, existem duas condições e estas estão escritas abaixo:

A desviação não deve ser grande; ou seja, não deve haver uma grande desviação entre a entrada e a saída.
A desviação não deve ser súbita.

Agora estamos em condições de discutir os controladores proporcionais, como o nome sugere, em um controlador proporcional a saída (também chamada de sinal de atuação) é diretamente proporcional ao sinal de erro. Agora, vamos analisar o controlador proporcional matematicamente. Como sabemos, na saída do controlador proporcional é diretamente proporcional ao sinal de erro, escrevendo isso matematicamente, temos,

Removendo o sinal de proporcionalidade, temos,

Onde Kp é a constante proporcional também conhecida como ganho do controlador.

Recomenda-se que Kp seja mantido maior que a unidade. Se o valor de Kp for maior que a unidade (>1), então ele amplificará o sinal de erro, tornando assim o sinal de erro amplificado facilmente detectável.

Vantagens do Controlador Proporcional

Agora, vamos discutir algumas vantagens do controlador proporcional.

O controlador proporcional ajuda a reduzir o erro em estado estacionário, tornando o sistema mais estável.
A resposta lenta de um sistema superamortecido pode ser acelerada com a ajuda desses controladores.

Desvantagens do Controlador Proporcional

Existem algumas desvantagens sérias desses controladores, e elas são escritas como segue:

Devido à presença desses controladores, obtemos alguns desvios no sistema.
Os controladores proporcionais também aumentam o sobressinal máximo do sistema.

Agora, explicaremos o Controlador Proporcional (P-controlador) com um exemplo único. Com este exemplo, o conhecimento do leitor sobre 'Estabilidade' e 'Erro em Estado Estacionário' também será aprimorado. Considere o sistema de controle por feedback mostrado na Figura-1

diagrama de bloco do amplificador de erro do controlador proporcional — Figura-1: Um Sistema de Controle por Feedback com Controlador Proporcional

'K' é chamado de controlador proporcional (também chamado de amplificador de erro). A equação característica deste sistema de controle pode ser escrita como:

s3+3s2+2s+K=0

Se o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz for aplicado nesta equação característica, então o intervalo de 'K' para a estabilidade pode ser encontrado como 0<K<6. (Isso implica que para valores K>6 o sistema será instável; para o valor de K=0, o sistema será marginalmente estável).

O lugar geométrico das raízes do sistema de controle acima é mostrado na Figura-2

Diagrama de lugar geométrico do controlador proporcional e resposta no tempo — Figura-2: Lugar geométrico das raízes do sistema mostrado na Figura-1, o lugar geométrico fornece uma ideia sobre qual deve ser o valor de 'K'

(Você pode entender que o lugar geométrico das raízes é desenhado para a função de transferência em malha aberta (G(s)H(s)), mas isso dá uma ideia sobre os polos da função de transferência em malha fechada, ou seja, as raízes da equação característica, também chamadas de zeros da equação característica.

O lugar geométrico das raízes é útil no dimensionamento do valor de 'K', ou seja, o ganho do controlador proporcional). Portanto, o sistema (na Figura-1) é estável para valores como K= 0,2, 1, 5,8 etc.; mas qual valor devemos selecionar. Analisaremos cada valor e mostraremos os resultados.

Como resumo, você pode entender que um valor alto de 'K' (ou seja, por exemplo, K=5,8) reduzirá a estabilidade (é uma desvantagem), mas melhorará o desempenho em estado estacionário (ou seja, reduz o erro em estado estacionário, o que será uma vantagem).

Você pode entender que

$K_p =\lim_{s\rightarrow 0}KG(s)H(s)$ , Erro em estado estacionário (ess)= $\frac{1}{1+K_p}$ (É aplicável no caso de entrada degrau)

$K_v =\lim_{s\rightarrow 0}sKG(s)H(s)$ , erro em estado estacionário (ess)= $\frac{1}{K_v}$ (é aplicável no caso de entrada rampa)

$K_a =\lim_{s\rightarrow 0}s^2KG(s)H(s)$ , erro em estado estacionário (ess)= $\frac{1}{K_a}$ (é aplicável no caso de entrada parabólica)

Pode-se observar que, para valores altos de 'K', os valores de Kp, Kv e Ka serão altos e o erro em estado estacionário será baixo.

Agora, vamos analisar cada caso e explicar os resultados

1. Para K=0,2

Neste caso, a equação característica do sistema é s3+ 3s2+ 2s+0,2=0; as raízes desta equação são -2,088, -0,7909 e -0,1211; Podemos ignorar -2,088 (pois está muito distante do eixo imaginário). Com base nas duas raízes restantes, pode-se dizer que se trata de um sistema superamortecido (já que ambas as raízes são reais e negativas, sem partes imaginárias).

Contra a entrada degrau, sua resposta temporal é mostrada na Figura-3. Pode-se ver que a resposta não apresenta oscilações. (se as raízes fossem complexas, a resposta temporal exibiria oscilações). O sistema superamortecido tem amortecimento maior que '1'.

Resposta no tempo do controlador superamortecido — Figura-3: A resposta não apresenta oscilações, é a resposta de um sistema superamortecido

No caso atual, a função de transferência em malha aberta é $G(s)H(s)=\frac{0.2}{s(s+1)(s+2)}$

Sua Margem de Ganho (MG) = 29,5 dB, Margem de Fase (MF) = 81,5°,

Deve-se notar que, na concepção de sistemas de controle, sistemas superamortecidos não são preferidos. As raízes (polos da função de transferência em malha fechada) devem ter partes imaginárias ligeiras.

No caso de superamortecimento, o amortecimento é maior que ‘1’, enquanto um amortecimento em torno de 0,8 é preferido.

2. Em K=1

Neste caso, a equação característica do sistema é s3+ 3s2+ 2s+1=0; as raízes desta equação são -2,3247, -0,3376 ±j0,5623; Podemos ignorar -2,3247.

Com base nas duas raízes restantes, pode-se dizer que é um sistema subamortecido (pois ambas as raízes são complexas com partes reais negativas). Contra uma entrada degrau, sua resposta no tempo é mostrada na Fig-4.

Resposta no tempo do controlador subamortecido — Figura-4: A resposta apresenta oscilações, é a resposta de um sistema subamortecido

No caso presente, a função de transferência em malha aberta é $G(s)H(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}$

Sua Margem de Ganho (MG) = 15,6 dB, Margem de Fase (MF) = 53,4°,

3. Em K=5,8

Como 5,8 está muito próximo de 6, pode-se entender que o sistema é estável, mas quase na borda. Você pode encontrar as raízes de sua equação característica.

Uma raiz pode ser ignorada, as duas raízes restantes estarão muito próximas do eixo imaginário. (As raízes de sua equação característica serão -2,9816, -0,0092±j1,39). Contra uma entrada degrau, sua resposta no tempo é mostrada na Fig-5.

Transient response underdamped controller — Figura-5: A resposta tem oscilações, é a resposta de um sistema subamortecido (A resposta na Figura-4 também pertence a um sistema subamortecido)

No caso presente, a função de transferência em malha aberta é $G(s)H(s)=\frac{5.8}{s(s+1)(s+2)}$

Sua Margem de Ganho = 0,294 dB, Margem de Fase = 0,919°

Pode-se analisar, comparado aos casos anteriores, que a MG e a MF foram reduzidas drasticamente. Como o sistema está muito próximo da instabilidade, a MG e a MF também estão muito próximas de zero.

Controladores Integradores

Como o nome sugere, nos controladores integradores, a saída (também chamada de sinal de atuação) é diretamente proporcional à integral do sinal de erro. Agora, vamos analisar matematicamente os controladores integradores.

Como sabemos, na saída de um controlador integral, esta é diretamente proporcional à integração do sinal de erro, escrevendo isso matematicamente, temos,

Removendo o sinal de proporcionalidade, temos,

Onde Ki é uma constante integral também conhecida como ganho do controlador. O controlador integral também é conhecido como controlador de reinicialização.

Vantagens do Controlador Integral

Devido à sua capacidade única, os Controladores Integrais podem retornar a variável controlada ao ponto de ajuste exato após uma perturbação, por isso são conhecidos como controladores de reinicialização.

Desvantagens do Controlador Integral

Tende a tornar o sistema instável, pois responde lentamente ao erro produzido.

Controladores Derivativos

Nunca usamos controladores derivativos sozinhos. Deve ser usado em combinação com outros modos de controladores devido a algumas desvantagens, que são escritas abaixo:

Nunca melhora o erro em estado estacionário.
Produz efeitos de saturação e também amplifica os sinais de ruído produzidos no sistema.

Agora, como o nome sugere, em um controlador derivativo, a saída (também chamada de sinal de atuação) é diretamente proporcional à derivada do sinal de erro.

Agora, vamos analisar o controlador derivativo matematicamente. Como sabemos, na saída de um controlador derivativo, esta é diretamente proporcional à derivada do sinal de erro, escrevendo isso matematicamente, temos,

Removendo o sinal de proporcionalidade, temos,

Onde, Kd é a constante proporcional também conhecida como ganho do controlador. O controlador derivativo também é conhecido como controlador de taxa.

Vantagens do Controlador Derivativo

A principal vantagem do controlador derivativo é que ele melhora a resposta transitória do sistema.

Controlador Proporcional e Integral

Como o nome sugere, é uma combinação de um controlador proporcional e integral, onde a saída (também chamada de sinal de atuação) é igual à soma do proporcional e da integral do sinal de erro.

Agora, vamos analisar matematicamente o controlador proporcional e integral.

Como sabemos, em um controlador proporcional e integral, a saída é diretamente proporcional à soma do proporcional do erro e da integração do sinal de erro. Escrevendo isso matematicamente, temos,

Removendo o sinal de proporcionalidade, temos,

Onde, Ki e kp são as constantes proporcional e integral, respectivamente.

As vantagens e desvantagens são combinações das vantagens e desvantagens dos controladores proporcional e integral.

Através do controlador PI, estamos adicionando um polo na origem e um zero em algum lugar distante da origem (no lado esquerdo do plano complexo).

Como o polo está na origem, seu efeito será maior, portanto, o controlador PI pode reduzir a estabilidade; mas sua principal vantagem é que ele reduz drasticamente o erro em estado estacionário, sendo por isso um dos controladores mais amplamente utilizados.

O diagrama esquemático do controlador PI é mostrado na Fig-6. Contra uma entrada degrau, para os valores de K=5.8, Ki=0.2, sua resposta temporal é mostrada na Fig-7. Em K=5.8 (como um controlador P, estava à beira da instabilidade, então apenas com a adição de um pequeno valor da parte integral, tornou-se instável.

Observação: a parte integral reduz a estabilidade, o que não significa que o sistema sempre será instável. No caso presente, adicionamos uma parte integral e o sistema tornou-se instável).

Integral Controller time response — Figura-6: O sistema de controle em malha fechada com Controlador PI

Integral controller response — Figura-7: A resposta do sistema mostrado na Figura-6, com K=5.8, Ki=0.2

Controlador Proporcional e Derivativo

Como o nome sugere, é uma combinação de um controlador proporcional e derivativo, a saída (também chamada de sinal de atuação) é igual à soma do proporcional e da derivada do sinal de erro. Agora, vamos analisar matematicamente o controlador proporcional e derivativo.

Como sabemos, no controlador proporcional e derivativo, a saída é diretamente proporcional à soma do proporcional do erro e da diferenciação do sinal de erro, escrevendo isso matematicamente, temos,

Removendo o sinal de proporcionalidade, temos,

Onde, Kd e Kp são, respectivamente, a constante proporcional e a constante derivativa.
As vantagens e desvantagens são combinações das vantagens e desvantagens dos controladores proporcionais e derivativos.

Os leitores devem notar que adicionar ‘zero’ na localização correta na função de transferência em malha aberta melhora a estabilidade, enquanto a adição de um polo na função de transferência em malha aberta pode reduzir a estabilidade.

As palavras “na localização correta” na frase acima são muito importantes e é chamado de projeto do sistema de controle (ou seja, tanto o zero quanto o polo devem ser adicionados nos pontos corretos no plano complexo para obter o resultado desejado).

Inserir o controlador PD é como adicionar um zero na função de transferência em malha aberta [G(s)H(s)]. O diagrama do Controlador PD é mostrado na Figura-8

Controlador Proporcional Derivativo — Figura-8: Sistema de controle em malha fechada com Controlador PD

No caso atual, tomamos os valores de K=5,8, Td=0,5. Sua resposta temporal, contra uma entrada degrau, é mostrada na Figura-9. Você pode comparar a Figura-9 com a Figura-5 e entender o efeito da inserção da parte derivativa no controlador P.

Resposta temporal do controlador Proporcional Derivativo — Figura-9: Resposta do sistema mostrado na Figura-8, com K=5,8, Td=0,5

A função de transferência do controlador PD é K+Tds ou Td(s+K/Td); portanto, adicionamos um zero em -K/Td. Ao controlar o valor de ‘K’ ou ‘Td’, a posição do ‘zero’ pode ser determinada.

Se o ‘zero’ estiver muito longe do eixo imaginário, sua influência diminuirá, se o ‘zero’ estiver no eixo imaginário (ou muito próximo ao eixo imaginário), também não será aceito (o lugar geométrico geralmente começa nos ‘polos’ e termina nos ‘zeros’, o objetivo do projetista geralmente é que o lugar geométrico não vá em direção ao eixo imaginário, por isso, um ‘zero’ muito próximo ao eixo imaginário também não é aceitável, portanto, uma posição moderada do ‘zero’ deve ser mantida)

Geralmente, diz-se que o controlador PD melhora o desempenho transitório e o controlador PI melhora o desempenho em estado estacionário de um sistema de controle.

Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID)

Um controlador PID é geralmente usado em aplicações de controle industrial para regular temperatura, fluxo, pressão, velocidade e outras variáveis de processo.

PID Controller, Proportional integral derivative controller — Figura-10: Sistema de controle em malha fechada com Controlador PID

A função de transferência do Controlador PID pode ser encontrada como:

$Tds+K+\frac{Ki}{s}$ ou $\frac{Tds^2+Ks+ Ki }{s}$

Pode-se observar que um polo na origem é fixo, os parâmetros restantes Td, K e Ki decidem a posição dos dois zeros.

Neste caso, podemos manter dois zeros complexos ou dois zeros reais conforme a necessidade, portanto, o controlador PID pode fornecer um melhor ajuste. Nos tempos antigos, o controlador PI era uma das melhores escolhas dos engenheiros de controle, porque o projeto (ajuste dos parâmetros) do controlador PID era um pouco difícil, mas atualmente, devido ao desenvolvimento de software, o design de controladores PID tornou-se uma tarefa fácil.

Contra uma entrada degrau, para os valores de K=5,8, Ki=0,2 e Td=0,5, sua resposta no tempo é mostrada na Fig-11. Compare a Fig-11 com a Fig-9 (nós tomamos valores de modo que todas as respostas no tempo possam ser comparadas).

Resposta do controlador PID ao longo do tempo — Figura-11: Resposta do sistema mostrado na Figura-10, com K=5.8, Td=0.5, Ki=0.2

Diretrizes Gerais para o Projeto de um Controlador PID

Ao projetar um controlador PID para um sistema dado, as diretrizes gerais para obter a resposta desejada são as seguintes:

Obtenha a resposta transitória da função de transferência em malha fechada e determine o que precisa ser melhorado.
Insira o controlador proporcional, projete o valor de 'K' através de Routh-Hurwitz ou software adequado.
Adicione uma parte integral para reduzir o erro em estado estacionário.
Adicione a parte derivativa para aumentar o amortecimento (o amortecimento deve estar entre 0,6-0,9). A parte derivativa reduzirá os ultrapassos e o tempo de transição.
O Sisotool, disponível no MATLAB, também pode ser usado para ajuste adequado e para obter uma resposta geral desejada.
Note-se que as etapas acima de ajuste de parâmetros (projeto de um sistema de controle) são diretrizes gerais. Não existem etapas fixas para o projeto de controladores.

Controladores Lógica Fuzzy

Controladores de Lógica Fuzzy (FLC) são usados onde os sistemas são altamente não lineares. Geralmente, a maioria dos sistemas físicos/sistemas elétricos são altamente não lineares. Por essa razão, os controladores de lógica fuzzy são uma boa escolha entre os pesquisadores.

Um modelo matemático preciso não é necessário no FLC. Ele funciona com base em experiências passadas, pode lidar com não linearidades e pode apresentar insensibilidade a perturbações maior do que a maioria dos outros controladores não lineares.

O FLC é baseado em conjuntos fuzzy, ou seja, classes de objetos nas quais a transição de membro para não-membro é suave, em vez de abrupta.

Em desenvolvimentos recentes, o FLC superou outros controladores em sistemas complexos, não lineares ou indefinidos, para os quais existe bom conhecimento prático. Portanto, os limites dos conjuntos fuzzy podem ser vagos e ambíguos, tornando-os úteis para modelos de aproximação.

A etapa importante no procedimento de síntese do controlador fuzzy é definir as variáveis de entrada e saída com base em experiências anteriores ou conhecimento prático.

Isso é feito de acordo com a função esperada do controlador. Não existem regras gerais para selecionar essas variáveis, embora tipicamente as variáveis escolhidas sejam os estados do sistema controlado, seus erros, variação do erro e acumulação do erro.

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