Arten von Reglern | Proportionale Integral- und Differenzialregler

Feld: Grundlagen der Elektrotechnik

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Was ist ein Regler?

In Regelungssystemen ist ein Regler ein Mechanismus, der die Differenz zwischen dem tatsächlichen Wert eines Systems (d.h. der Prozessvariable) und dem gewünschten Wert des Systems (d.h. dem Sollwert) minimieren soll. Regler sind ein wesentlicher Bestandteil der Regelungstechnik und werden in allen komplexen Regelungssystemen eingesetzt.

Bevor wir Ihnen verschiedene Regler im Detail vorstellen, ist es wichtig, die Anwendungen von Reglern in der Theorie der Regelungssysteme zu kennen. Die wichtigen Anwendungen von Reglern umfassen:

Regler verbessern die Ruhestabilität, indem sie den Ruhefehler verringern.
Durch die Verbesserung der Ruhestabilität wird auch die Stabilität erhöht.
Regler helfen auch dabei, unerwünschte Versatzwerte, die vom System erzeugt werden, zu reduzieren.
Regler können das maximale Überschwingen des Systems steuern.
Regler können dazu beitragen, die Rauschsignale, die vom System erzeugt werden, zu reduzieren.
Regler können dazu beitragen, die langsame Reaktion eines überdämpften Systems zu beschleunigen.

Verschiedene Arten dieser Regler sind in industriellen Automatisierungseinrichtungen wie programmierbaren Logikreglern und SCADA-Systemen codiert. Die verschiedenen Arten von Reglern werden im Folgenden detailliert erläutert.

Arten von Reglern

Es gibt zwei Haupttypen von Reglern: kontinuierliche Regler und diskontinuierliche Regler.

Bei diskontinuierlichen Reglern ändert sich die gesteuerte Variable zwischen diskreten Werten. Abhängig davon, wie viele verschiedene Zustände die gesteuerte Variable annehmen kann, unterscheidet man zwischen Zweipunkt-, Dreipunkt- und Mehrpunktreglern.

Im Vergleich zu kontinuierlichen Reglern arbeiten diskontinuierliche Regler mit sehr einfachen, schaltenden Endstufen.

Das Hauptmerkmal kontinuierlicher Regler ist, dass die geregelte Variable (auch als gesteuerte Variable bekannt) jeden beliebigen Wert innerhalb des Ausgabebereichs des Reglers annehmen kann.

In der Theorie der kontinuierlichen Regler gibt es drei grundlegende Modi, auf denen die gesamte Regelung basiert, und zwar:

Proportionale Regler.
Integrale Regler.
Differenzialregler.

Wir verwenden die Kombination dieser Modi, um unser System so zu steuern, dass die Prozessgröße gleich dem Sollwert ist (oder so nah wie möglich). Diese drei Arten von Reglern können zu neuen Reglern kombiniert werden:

Proportional- und Integralregler (PI-Regler)
Proportional- und Differenzialregler (PD-Regler)
Proportional-Integral-Differenzial-Regelung (PID-Regler)

Im Folgenden werden wir diese Regelungsmodi im Detail besprechen.

Proportionale Regler

Jeder Regler hat einen spezifischen Anwendungsfall, für den er am besten geeignet ist. Wir können nicht einfach irgendeinen Typ von Regler in jedes System einfügen und mit einem guten Ergebnis rechnen – bestimmte Bedingungen müssen erfüllt sein. Für einen proportionalen Regler gibt es zwei Bedingungen, die unten aufgeführt sind:

Die Abweichung sollte nicht groß sein; d.h., es sollte keine große Abweichung zwischen Eingang und Ausgang geben.
Die Abweichung sollte nicht plötzlich auftreten.

Nun sind wir in der Lage, proportionale Regler zu diskutieren. Wie der Name schon sagt, ist bei einem proportionalen Regler das Ausgangssignal (auch als Stellsignal bezeichnet) direkt proportional zum Fehlersignal. Lassen Sie uns nun den proportionalen Regler mathematisch analysieren. Wie wir wissen, ist bei einem proportionalen Regler das Ausgangssignal direkt proportional zum Fehlersignal. Mathematisch ausgedrückt haben wir:

Wenn wir das Proportionalitätszeichen entfernen, erhalten wir:

Wobei Kp der Proportionalitätsfaktor, auch bekannt als Reglerverstärkung, ist.

Es wird empfohlen, dass Kp größer als eins gehalten werden sollte. Wenn der Wert von Kp größer als eins (>1) ist, dann wird das Fehlersignal verstärkt und somit kann das verstärkte Fehlersignal leichter erkannt werden.

Vorteile des Proportionalreglers

Nun besprechen wir einige Vorteile des Proportionalreglers.

Der Proportionalregler hilft dabei, den stationären Fehler zu reduzieren und macht das System dadurch stabiler.
Die langsame Reaktion eines überdämpften Systems kann mit Hilfe dieser Regler schneller gemacht werden.

Nachteile des Proportionalreglers

Nun gibt es einige ernsthafte Nachteile dieser Regler, die wie folgt aufgeführt sind:

Durch die Anwesenheit dieser Regler entstehen in dem System einige Versätze.
Proportionalregler erhöhen auch den maximalen Überschwing des Systems.

Nun werden wir den Proportionalregler (P-Regler) mit einem einzigartigen Beispiel erklären. Mit diesem Beispiel wird das Wissen des Lesers über 'Stabilität' und 'stationären Fehler' ebenfalls verbessert. Betrachten Sie das in Abbildung-1 dargestellte Regelkreissystem

Blockschaltbild des Proportionalreglers mit Fehlersignalverstärker — Abbildung-1: Ein Regelkreissystem mit Proportionalregler

'K' wird als Proportionalregler (auch als Fehlersignalverstärker bezeichnet) bezeichnet. Die charakteristische Gleichung dieses Regelkreises kann wie folgt geschrieben werden:

s3+3s2+2s+K=0

Wenn die Routh-Hurwitz-Kriterien auf diese charakteristische Gleichung angewendet werden, dann kann der Bereich für 'K' zur Stabilität als 0<K<6 gefunden werden. (Das bedeutet, dass für Werte K>6 das System instabil sein wird; für den Wert K=0 wird das System marginal stabil).

Die Wurzelortskurve des obigen Regelkreises ist in Abbildung-2 dargestellt.

Wurzelortskurve eines Proportionalreglers und Zeitverhalten — Abbildung-2: Wurzelortskurve des in Abbildung-1 gezeigten Systems, die Wurzelortskurve gibt eine Vorstellung davon, welchen Wert 'K' haben sollte.

(Sie können verstehen, dass die Wurzelortskurve für die offene Übertragungsfunktion (G(s)H(s)) gezeichnet wird, aber sie gibt eine Vorstellung von den Polen der geschlossenen Übertragungsfunktion, also den Nullstellen der charakteristischen Gleichung, auch genannt Nullstellen der charakteristischen Gleichung.

Die Wurzelortskurve ist hilfreich bei der Bestimmung des Wertes 'K', also dem Verstärkungsfaktor des Proportionalreglers). Das System (in Abbildung-1) ist für Werte wie K= 0,2, 1, 5,8 usw. stabil; aber welchen Wert sollten wir wählen. Wir werden jeden Wert analysieren und Ihnen die Ergebnisse zeigen.

Zusammengefasst können Sie verstehen, dass ein hoher Wert für 'K' (zum Beispiel, K=5,8) die Stabilität verringern wird (das ist ein Nachteil), aber die stationäre Leistung verbessert (also den stationären Fehler reduziert, was ein Vorteil ist).

Sie können verstehen, dass

$K_p =\lim_{s\rightarrow 0}KG(s)H(s)$ , stationärer Fehler (ess)= $\frac{1}{1+K_p}$ (Dies gilt im Falle eines Sprungsignals)

$K_v =\lim_{s\rightarrow 0}sKG(s)H(s)$ , Stationärer Fehler (ess)= $\frac{1}{K_v}$ (Dies gilt für ein Rampen-Signal)

$K_a =\lim_{s\rightarrow 0}s^2KG(s)H(s)$ , Stationärer Fehler (ess)= $\frac{1}{K_a}$ (Dies gilt für ein parabolisches Signal)

Es kann beobachtet werden, dass bei hohem Wert von 'K' die Werte von Kp, Kv und Ka hoch sein werden und der stationäre Fehler gering ausfallen wird.

Nun werden wir jeden Fall einzeln betrachten und die Ergebnisse erläutern

1. Bei K=0.2

In diesem Fall lautet die charakteristische Gleichung des Systems s3+ 3s2+ 2s+0.2=0; die Wurzeln dieser Gleichung sind -2.088, -0.7909 und -0.1211; Wir können -2.088 ignorieren (da es weit von der imaginären Achse entfernt ist). Auf Grundlage der verbleibenden beiden Wurzeln kann das System als überdämpft bezeichnet werden (da beide Wurzeln reell und negativ sind und keine imaginären Teile haben).

Gegenüber einem Sprungsignal zeigt seine Zeitantwort in Abbildung 3. Es kann beobachtet werden, dass die Antwort keine Oszillationen aufweist. (Falls die Wurzeln komplex sind, zeigt die Zeitantwort Oszillationen). Das überdämpfte System hat eine Dämpfung größer als '1'.

Zeitantwort des überdämpften Proportionalreglers — Abbildung 3: Die Antwort hat keine Schwingungen, es handelt sich um die Antwort eines überdämpften Systems

Im vorliegenden Fall ist die offene Schleifen-Übertragungsfunktion $G(s)H(s)=\frac{0.2}{s(s+1)(s+2)}$

Ihr Verstärkungsreserve (GM)=29,5 dB, Phasenreserve (PM)=81,5°,

Es sollte beachtet werden, dass bei der Auslegung von Regelkreisen überdämpfte Systeme nicht bevorzugt werden. Die Wurzeln (Pole der geschlossenen Schleifen-Übertragungsfunktion) sollten leichte imaginäre Anteile haben.

Bei überdämpftem System beträgt die Dämpfung mehr als '1', während eine Dämpfung von etwa 0,8 bevorzugt wird.

2. Bei K=1

In diesem Fall lautet die charakteristische Gleichung des Systems s3+ 3s2+ 2s+1=0; die Wurzeln dieser Gleichung sind -2,3247, -0,3376 ±j0,5623; Wir können -2,3247 ignorieren.

Basierend auf den verbleibenden beiden Wurzeln kann es als unterdämpftes System bezeichnet werden (da beide Wurzeln komplex mit negativen Realteilen sind). Gegenüber einem Sprungsignal ist seine Zeitantwort in Abbildung 4 dargestellt.

Zeitantwort des unterdämpften Reglers — Abbildung 4: Die Antwort hat Schwingungen, es handelt sich um die Antwort eines unterdämpften Systems

In der vorliegenden Situation ist die offene Schleifen-Übertragungsfunktion $G(s)H(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}$

Ihr Verstärkungsabstand (GM)=15,6 dB, Phasenabstand (PM)=53,4°,

3. Bei K=5,8

Da 5,8 sehr nahe an 6 liegt, können Sie verstehen, dass das System stabil ist, aber fast am Rand. Sie können die Wurzeln ihrer charakteristischen Gleichung finden.

Eine Wurzel kann ignoriert werden, die verbleibenden beiden Wurzeln werden sehr nahe an der imaginären Achse liegen. (Die Wurzeln ihrer charakteristischen Gleichung sind -2,9816, -0,0092±j1,39). Gegenüber einem Sprungsignal wird ihre Zeitantwort in Abbildung 5 dargestellt.

Transient response underdamped controller — Abbildung 5: Die Antwort weist Oszillationen auf, es handelt sich um die Antwort eines untergedämpften Systems (Die Antwort in Abbildung 4 gehört ebenfalls zu einem untergedämpften System)

In der vorliegenden Situation ist die offene Schleifen-Übertragungsfunktion $G(s)H(s)=\frac{5.8}{s(s+1)(s+2)}$

Ihr Verstärkungsabstand=0,294 dB, Phasenabstand =0,919°

Es kann analysiert werden, dass im Vergleich zu den vorherigen Fällen GM und PM drastisch reduziert wurden. Da das System sehr nahe an der Instabilität ist, sind GM und PM auch sehr nahe am Nullwert.

Integrale Regler

Wie der Name schon sagt, ist bei den integrale Reglern das Ausgangssignal (auch als Stellgröße bezeichnet) direkt proportional zum Integral des Fehlersignals. Analysieren wir nun die integrale Regler mathematisch.

Wie wir wissen, ist die Ausgabe eines Integralreglers direkt proportional zum Integral des Fehlersignals. Mathematisch ausgedrückt haben wir:

Entfernen wir das Proportionalitätszeichen, erhalten wir:

Dabei ist Ki eine Integralkonstante, auch bekannt als Reglerverstärkung. Der Integralregler wird auch als Reset-Regler bezeichnet.

Vorteile des Integralreglers

Aufgrund ihrer einzigartigen Fähigkeit können Integralregler die gesteuerte Variable nach einer Störung exakt auf den Sollwert zurückführen, weshalb sie auch als Reset-Regler bezeichnet werden.

Nachteile des Integralreglers

Er neigt dazu, das System instabil zu machen, da er langsam auf das entstehende Fehler reagiert.

Differentialregler

Wir verwenden Differentialregler niemals allein. Sie sollten in Kombination mit anderen Reglertypen verwendet werden, aufgrund ihrer Nachteile, die unten aufgeführt sind:

Sie verbessern nie den stationären Fehler.
Sie produzieren Sättigungseffekte und verstärken auch die Rauschsignale, die im System entstehen.

Wie der Name schon sagt, ist die Ausgabe (auch als Aktorsignal bezeichnet) eines Differentialreglers direkt proportional zur Ableitung des Fehlersignals.

Analysieren wir nun den Differentialregler mathematisch. Wie wir wissen, ist die Ausgabe eines Differentialreglers direkt proportional zur Ableitung des Fehlersignals, mathematisch ausgedrückt haben wir:

Entfernen wir das Proportionalitätszeichen, erhalten wir,

Wobei Kd die Proportionalitätskonstante ist, auch bekannt als Reglerverstärkung. Der Differenzierregler wird auch als Ratenregler bezeichnet.

Vorteile des Differenzierreglers

Der Hauptvorteil des Differenzierreglers besteht darin, dass er die Übergangsantwort des Systems verbessert.

Proportional- und Integralregler

Wie der Name schon sagt, handelt es sich um eine Kombination aus einem proportionalen und einem Integralregler, wobei das Ausgangssignal (auch Aktuierungssignal genannt) gleich der Summe des proportionalen Anteils und des Integrals des Fehlersignals ist.

Analysieren wir nun den proportionalen und integralen Regler mathematisch.

Wie wir wissen, ist bei einem proportionalen und integralen Regler das Ausgangssignal direkt proportional zur Summe des proportionalen Anteils des Fehlers und dem Integral des Fehlersignals. Mathematisch geschrieben haben wir,

Entfernen wir das Proportionalitätszeichen, erhalten wir,

Wobei Ki und kp die Proportionalitätskonstante und die Integralkonstante sind.

Vorteile und Nachteile sind Kombinationen der Vorteile und Nachteile der proportionalen und integralem Regler.

Durch den PI-Regler fügen wir einen Pol am Ursprung und ein Nullstellen irgendwo davon entfernt (auf der linken Seite der komplexen Ebene) hinzu.

Da der Pol im Ursprung liegt, wird seine Wirkung stärker sein, daher kann ein PI-Regler die Stabilität verringern; sein Hauptvorteil ist jedoch, dass er den stationären Fehler drastisch reduziert, weshalb er einer der am häufigsten verwendeten Regler ist.

Das Schaltbild des PI-Reglers ist in Abbildung 6 dargestellt. Bei einem Sprungantrieb und Werten von K=5,8, Ki=0,2, ist die Zeitantwort in Abbildung 7 gezeigt. Bei K=5,8 (als P-Regler befand es sich am Rande der Instabilität, so dass durch das Hinzufügen eines kleinen Integrationsanteils Unstabilität entstand.

Beachten Sie, dass der Integrationsanteil die Stabilität verringert, was nicht bedeutet, dass das System immer instabil sein wird. Im vorliegenden Fall haben wir einen Integrationsanteil hinzugefügt und das System wurde instabil).

Integral Controller time response — Abbildung 6: Das geschlossene Regelkreissystem mit PI-Regler

Integral controller response — Abbildung 7: Die Antwort des in Abbildung 6 dargestellten Systems, mit K=5,8, Ki=0,2

Proportionale und Differenzialregelung

Wie der Name schon sagt, handelt es sich um eine Kombination aus proportionaler und differenzialer Regelung. Das Ausgangssignal (auch als Aktuatorsignal bezeichnet) entspricht der Summe des Proportionalanteils und der Ableitung des Fehlersignals. Analysieren wir nun die proportionale und differenzielle Regelung mathematisch.

Wie bekannt, ist bei einer proportionalen und differenzialen Regelung das Ausgangssignal direkt proportional zur Summe des Proportionalanteils des Fehlers und der Ableitung des Fehlersignals. Mathematisch ausgedrückt lautet dies:

Entfernen wir das Proportionalitätszeichen, erhalten wir:

Dabei sind Kd und Kp die Proportional- und Differenzialkonstanten.
Vorteile und Nachteile sind Kombinationen der Vorteile und Nachteile von Proportional- und Differenzialreglern.

Leser sollten beachten, dass das Hinzufügen eines 'Nullpunkts' an der richtigen Stelle in der offenen Schleifen-Übertragungsfunktion die Stabilität verbessert, während das Hinzufügen eines Pols in der offenen Schleifen-Übertragungsfunktion die Stabilität verringern kann.

Die Wörter "an der richtigen Stelle" im obigen Satz sind sehr wichtig und werden als Entwurf des Regelkreises bezeichnet (d.h. sowohl Nullpunkt als auch Pol sollten an den richtigen Punkten in der komplexen Ebene hinzugefügt werden, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen).

Das Einfügen des PD-Reglers ist wie das Hinzufügen eines Nullpunkts in der offenen Schleifen-Übertragungsfunktion [G(s)H(s)]. Das Diagramm des PD-Reglers ist in Abbildung-8 dargestellt.

Proportional Derivative controller — Abbildung-8: Geschlossener Regelkreis mit PD-Regler

In dem vorliegenden Fall haben wir die Werte K=5,8 und Td=0,5 gewählt. Die Zeitantwort gegen einen Sprungimpuls ist in Abbildung-9 dargestellt. Sie können Abbildung-9 mit Abbildung-5 vergleichen und verstehen, welche Auswirkungen das Hinzufügen des Differenzialanteils zum P-Regler hat.

Proportional derivative controller Time response — Abbildung-9: Antwort des in Abbildung-8 dargestellten Systems mit K=5,8 und Td=0,5

Die Übertragungsfunktion des PD-Reglers ist K+Tds oder Td(s+K/Td); somit haben wir einen Nullpunkt bei -K/Td hinzugefügt. Durch die Steuerung des Wertes von 'K' oder 'Td' kann die Position des 'Nullpunkts' bestimmt werden.

Wenn der 'Nullpunkt' sehr weit von der imaginären Achse entfernt ist, nimmt sein Einfluss ab. Wenn der 'Nullpunkt' auf der imaginären Achse (oder sehr nahe an der imaginären Achse) liegt, wird er ebenfalls nicht akzeptiert (die Wurzelortskurve beginnt normalerweise bei den 'Polen' und endet bei den 'Nullstellen', das Ziel des Entwicklers ist es allgemein, dass die Wurzelortskurve sich nicht in Richtung der imaginären Achse bewegen sollte, aus diesem Grund ist ein 'Nullpunkt' in der Nähe der imaginären Achse ebenfalls nicht akzeptabel, daher sollte eine moderate Position des 'Nullpunkts' gewählt werden)

Allgemein wird gesagt, dass der PD-Regler die Übergangsleistung verbessert und der PI-Regler die stationäre Leistung eines Regelkreises verbessert.

Proportional plus Integral plus Derivative Controller (PID-Regler)

Ein PID-Regler wird in der Regel in industriellen Anwendungen eingesetzt, um Temperatur, Durchfluss, Druck, Geschwindigkeit und andere Prozessvariablen zu regeln.

PID-Regler, Proportional-Integral-Differential-Regler — Abbildung-10: Geschlossener Regelkreis mit PID-Regler

Die Übertragungsfunktion des PID-Reglers lautet:

$Tds+K+\frac{Ki}{s}$ oder $\frac{Tds^2+Ks+ Ki }{s}$

Es kann beobachtet werden, dass ein Pol am Ursprung fixiert ist, während die restlichen Parameter Td, K und Ki die Position der beiden Nullstellen bestimmen.

In diesem Fall können wir je nach Bedarf zwei komplexe oder zwei reelle Nullstellen haben, wodurch der PID-Regler eine bessere Abstimmung ermöglicht. In früheren Zeiten war der PI-Regler eine der besten Wahlmöglichkeiten für Regelungstechniker, da die Erstellung (Abstimmung der Parameter) des PID-Reglers etwas schwierig war. Heutzutage hat sich durch die Entwicklung von Software die Erstellung von PID-Reglern jedoch zu einer einfachen Aufgabe entwickelt.

Gegenüber einem Stufenanfang, für die Werte K=5.8, Ki=0.2 und Td=0.5, zeigt seine Zeitantwort, wie in Abbildung-11 dargestellt. Vergleichen Sie Abbildung-11 mit Abbildung-9 (Wir haben Werte gewählt, so dass alle Zeitantworten vergleichbar sind).

Zeitverhalten des PID-Reglers — Abbildung 11: Antwort des in Abbildung 10 dargestellten Systems mit K=5,8, Td=0,5, Ki=0,2

Allgemeine Richtlinien für die Entwurf eines PID-Reglers

Wenn Sie einen PID-Regler für ein gegebenes System entwerfen, sind allgemeine Richtlinien, um die gewünschte Antwort zu erhalten, wie folgt:

Ermitteln Sie das transiente Verhalten der geschlossenen Schleife und bestimmen Sie, was verbessert werden muss.
Fügen Sie den Proportionalregler hinzu und entwerfen Sie den Wert von 'K' mithilfe von Routh-Hurwitz oder geeigneter Software.
Fügen Sie einen Integralteil hinzu, um den stationären Fehler zu reduzieren.
Fügen Sie den Differenzialteil hinzu, um die Dämpfung zu erhöhen (die Dämpfung sollte zwischen 0,6 und 0,9 liegen). Der Differenzialteil reduziert Überschwingen und die Übergangszeit.
Sisotool, verfügbar in MATLAB, kann auch zur korrekten Einstellung und zum Erreichen der gewünschten Gesamtantwort verwendet werden.
Bitte beachten Sie, dass die obigen Schritte zur Einstellung der Parameter (Entwurf eines Regelkreises) allgemeine Richtlinien sind. Es gibt keine festgelegten Schritte für den Entwurf von Reglern.

Fuzzy-Logik-Regler

Fuzzy-Logik-Regler (FLC) werden eingesetzt, wenn Systeme stark nichtlinear sind. Die meisten physikalischen und elektrischen Systeme sind stark nichtlinear. Aus diesem Grund sind Fuzzy-Logik-Regler eine gute Wahl für Forscher.

Für FLC ist kein genaues mathematisches Modell erforderlich. Sie arbeiten auf der Grundlage vergangener Erfahrungen, können Nichtlinearitäten bewältigen und bieten eine Störungsunempfindlichkeit, die größer ist als bei den meisten anderen nichtlinearen Reglern.

FLC basiert auf Fuzzy-Mengen, d.h. Klassen von Objekten, bei denen der Übergang von Mitgliedschaft zu Nichtmitgliedschaft fließend anstatt abrupt erfolgt.

In jüngster Zeit haben FLC andere Regler in komplexen, nichtlinearen oder undefinierten Systemen, für die praktisches Wissen vorliegt, übertrumpft. Daher können die Grenzen von Fuzzy-Mengen vage und unbestimmt sein, was sie für Näherungsmodelle nützlich macht.

Ein wichtiger Schritt im Syntheseverfahren des Fuzzy-Reglers ist die Definition der Eingabe- und Ausgabegrößen auf der Grundlage vergangener Erfahrungen oder praktischen Kenntnisse.

Dies geschieht entsprechend der erwarteten Funktion des Reglers. Es gibt keine allgemeinen Regeln zur Auswahl dieser Variablen, obwohl in der Regel die Zustände des geregelten Systems, ihre Fehler, Fehleränderungen und Fehlerakkumulation ausgewählt werden.

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