コントローラの種類 | 比例積分微分制御器

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フィールド: 基本電気

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コントローラーとは何か

制御システムにおいて、コントローラーはシステムの実際の値（プロセス変数）とシステムの目的値（設定値）との差を最小限に抑えるための機構です。コントローラーは制御工学の基本的な部分であり、すべての複雑な制御システムで使用されています。

さまざまなコントローラーを詳しく紹介する前に、制御理論におけるコントローラーの用途を知っておくことが重要です。コントローラーの重要な用途には以下があります：

コントローラーは定常状態誤差を減少させることで定常状態精度を向上させる。
定常状態精度が向上すると、安定性も向上する。
コントローラーはシステムによって生じる不要なオフセットを減らすのに役立つ。
コントローラーはシステムの最大過渡応答を制御できる。
コントローラーはシステムによって生じるノイズ信号を減らすのに役立つ。
コントローラーは過ダンピング系の遅い応答を速くするのに役立つ。

これらのコントローラーの様々な種類は、プログラマブルロジックコントローラーやSCADAシステムなどの産業用自動車装置に組み込まれています。さまざまなタイプのコントローラーについては以下の詳細な説明があります。

コントローラーの種類

コントローラーには主に連続コントローラーと不連続コントローラーの2つのタイプがあります。

不連続コントローラーでは、操作変数が離散的な値の間で変化します。操作変数がどの程度の異なる状態を取ることができるかによって、2位置、3位置、および多位置コントローラーに区別されます。

連続コントローラーと比較して、不連続コントローラーは非常に単純な切り替え最終制御要素を使用しています。

連続コントローラーの主な特徴は、制御変数（または操作変数とも呼ばれる）がコントローラーの出力範囲内で任意の値を持つことができることです。

連続コントローラー理論では、全体の制御動作が行われる3つの基本モードがあります。これらは：

比例制御器。
積分制御器.
微分制御器.

これらのモードを組み合わせて、プロセス変数が設定値に等しくなるように（またはできるだけ近づけるように）システムを制御します。これらの3種類の制御器は新しい制御器として組み合わせることができます：

比例積分制御器 (PI 制御器)
比例微分制御器 (PD 制御器)
比例積分微分制御 (PID 制御器)

以下でこれらの各制御モードについて詳しく説明します。

比例制御器

すべての制御器には、最も適した特定の使用例があります。任意のタイプの制御器を任意のシステムに挿入して良い結果を得ることはできません。特定の条件を満たす必要があります。比例制御器の場合、以下の2つの条件があります：

偏差は大きくないべきです。つまり、入力と出力の間の偏差は大きくないべきです。
偏差は急激であってはなりません。

ここでは、名前の通り、比例制御器において出力（アクチュエーション信号とも呼ばれます）は誤差信号に直接比例します。次に、比例制御器を数学的に解析しましょう。比例制御器において出力は誤差信号に直接比例することを知っていますので、これを数学的に表すと、

比例関係を除去すると、

ここで Kp は比例定数であり、コントローラゲインとも呼ばれます。

Kpが1より大きい値を維持することが推奨されます。Kpの値が1より大きい場合、エラーシグナルが増幅され、その結果、増幅されたエラーシグナルは簡単に検出できます。

比例制御器の利点

次に、比例制御器のいくつかの利点について説明します。

比例制御器は定常状態誤差を減らすことで、システムをより安定させます。
過ダンピングシステムの遅い応答をこれらの制御器によって高速化することができます。

比例制御器の欠点

これらの制御器にはいくつかの重大な欠点があり、以下のように記述されています。

これらの制御器の存在により、システムにオフセットが生じることがあります。
比例制御器はまた、システムの最大オーバーシュートを増加させます。

次に、比例制御器（P制御器）をユニークな例で説明します。この例を通じて、読者の「安定性」と「定常状態誤差」に関する知識も深まります。図1に示すフィードバック制御システムを考えてみましょう。

比例制御器のエラー増幅器ブロック図 — 図1：比例制御器を備えたフィードバック制御システム

‘K’は比例制御器（エラー増幅器とも呼ばれる）と呼ばれています。この制御システムの特性方程式は以下の通りです：

s3+3s2+2s+K=0

この特性方程式にルース・フルウィッツの安定判別法を適用すると、安定性の範囲として0<K<6が得られます。（つまり、K>6の場合システムは不安定になり、K=0の場合システムは境界安定となります）。

上記制御システムのルートロカスは図2に示されています。

比例制御器の時間応答のルートロカス — 図2：図1で示されたシステムのルートロカス。ルートロカスは、'K'の値がどの程度であるべきかのアイデアを提供します。

（ルートロカスは開ループ伝達関数（G(s)H(s)）に対して描かれますが、閉ループ伝達関数の極、すなわち特性方程式の根、または特性方程式の零点についてのアイデアを提供します）。

ルートロカスは、プロポーショナル制御器のゲインである'K'の値を設計するのに役立ちます）。したがって、システム（図1）はK=0.2、1、5.8などの値で安定していますが、どの値を選択すべきかを分析し、結果をお見せします。

要約すると、'K'の高い値（たとえば、K=5.8）は安定性を低下させる（これは不利）が、定常状態性能を改善する（すなわち、定常状態誤差を減らす、これは有利です）。

以下のことを理解できます。

$K_p =\lim_{s\rightarrow 0}KG(s)H(s)$ 、定常状態誤差（ess）= $\frac{1}{1+K_p}$ （これはステップ入力の場合に適用されます）

$K_v =\lim_{s\rightarrow 0}sKG(s)H(s)$ ステディステートエラー (ess)= $\frac{1}{K_v}$ （これはランプ入力の場合に適用されます）

$K_a =\lim_{s\rightarrow 0}s^2KG(s)H(s)$ ステディステートエラー (ess)= $\frac{1}{K_a}$ （これは放物線入力の場合に適用されます）

‘K’の値が高い場合、Kp、Kv、Kaの値も高く、ステディステートエラーは低くなります。

次に、それぞれのケースについて説明します。

1. K=0.2の場合

この場合、システムの特性方程式はs3+ 3s2+ 2s+0.2=0です。この方程式の根は-2.088、-0.7909、-0.1211です。-2.088（虚軸から遠いため）を無視することができます。残りの2つの根に基づいて、これは過減衰系と呼ばれます（両方の根が実数かつ負であり、虚部はありません）。

ステップ入力に対する時間応答は図3に示されています。応答には振動が見られません（根が複素数の場合、時間応答は振動を示します）。過減衰系の減衰率は‘1’より大きいです。

時間応答過減衰比例制御器 — 図-3：応答には振動がなく、これは過減衰系の応答です

現在の場合、オープンループ伝達関数は $G(s)H(s)=\frac{0.2}{s(s+1)(s+2)}$

そのゲインマージン（GM）=29.5 dB、位相マージン（PM）=81.5°

制御システムの設計において、過減衰系は好まれないことに注意が必要です。根（閉ループ伝達関数の極）にはわずかな虚部を持つべきです。

過減衰の場合、減衰は‘1’より大きいですが、約0.8の減衰が好まれます。

2. K=1の場合

この場合、システムの特性方程式はs3+ 3s2+ 2s+1=0です；この方程式の根は-2.3247、-0.3376 ±j0.5623です；-2.3247を無視できます。

残りの2つの根に基づいて、これは減衰不足系と呼ばれます（両方の根が複素数であり、実部が負です）。ステップ入力に対する時間応答は図-4に示されています。

時間応答減衰不足制御器 — 図-4：応答には振動があり、これは減衰不足系の応答です

現在の場合、オープンループ伝達関数は $G(s)H(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}$

そのゲインマージン（GM）=15.6 dB、位相マージン（PM）=53.4°

3. K=5.8の場合

5.8は6に非常に近いため、システムが安定しているが、ほぼ境界線上にあることがわかります。特性方程式の根を見つけることができます。

1つの根は無視できますが、残りの2つの根は虚軸に非常に近くなります。（特性方程式の根は-2.9816、-0.0092±j1.39）。ステップ入力に対する時間応答は図5に示されています。

過減衰制御器の一時応答 — 図5：応答には振動があり、これは過減衰システムの応答です（図4の応答も過減衰システムに属します）

現在の場合、オープンループ伝達関数は $G(s)H(s)=\frac{5.8}{s(s+1)(s+2)}$

そのゲインマージン=0.294 db、位相マージン =0.919°

以前のケースと比較して分析すると、GMとPMが大幅に減少しています。システムが不安定に非常に近いため、GMとPMもゼロ値に非常に近くなります。

積分制御器

名前の通り、積分制御器では、出力（アクチュエーティング信号とも呼ばれます）は誤差信号の積分に比例します。ここで、積分制御器を数学的に分析してみましょう。

積分制御器の出力は誤差信号の積分に比例することが知られています。これを数式で表すと以下のようになります。

比例定数を削除すると以下のようになります。

ここでKiは積分定数であり、制御ゲインとも呼ばれます。積分制御器はリセット制御器とも呼ばれます。

積分制御器の利点

積分制御器は、その独特の能力により、摂動後に制御変数を正確な設定値に戻すことができます。そのため、これらの制御器はリセット制御器とも呼ばれています。

積分制御器の欠点

積分制御器は、誤差に対して反応が遅いため、システムを不安定にする傾向があります。

微分制御器

私たちは、微分制御器を単独では使用しません。これは、以下のいくつかの欠点があるため、他の制御モードと組み合わせて使用する必要があります。

定常状態の誤差を改善しません。
飽和効果を生じさせ、またシステム内で発生したノイズ信号を増幅します。

名前の通り、微分制御器の出力（アクチュエータ信号とも呼ばれる）は誤差信号の微分に比例します。

微分制御器を数学的に分析してみましょう。微分制御器の出力は誤差信号の微分に比例することを知っています。これを数式で表すと以下のようになります。

比例関係の記号を削除すると

ここで、Kdは比例定数であり、コントローラゲインとも呼ばれます。微分制御器はまた、レート制御器としても知られています。

微分制御器の利点

微分制御器の主な利点は、システムの過渡応答を改善することです。

比例制御器と積分制御器

その名の通り、これは比例制御器と積分制御器の組み合わせであり、出力（アクチュエーション信号とも呼ばれる）は誤差信号の比例と積分の合計に等しいです。

次に、比例制御器と積分制御器を数学的に分析します。

我々が知っているように、比例制御器と積分制御器では、出力は誤差の比例と誤差信号の積分の合計に直接比例します。これを数学的に表すと以下のようになります。

比例関係の記号を削除すると

ここで、Kiとkpはそれぞれ積分定数と比例定数です。

利点と欠点は、比例制御器と積分制御器の利点と欠点の組み合わせです。

PI制御器を通じて、私たちは原点に一つの極と、複素平面の左側にあるどこかに一つの零点を追加しています。

極が原点にあるため、その影響は大きくなります。そのため、PI制御器は安定性を低下させる可能性がありますが、主な利点は定常誤差を大幅に減らすことです。この理由から、PI制御器は最も広く使用されている制御器の一つです。

図-6に示すように、PI制御器の回路図があります。ステップ入力に対する応答で、K=5.8、Ki=0.2の場合、その時間応答は図-7に示されています。K=5.8（P制御器として不安定寸前の状態であったため、積分部分に小さな値を追加しただけで不安定になりました）。

積分部分が安定性を低下させることは、必ずしもシステムが常に不安定になることを意味しません。現在の場合、積分部分を追加したことでシステムが不安定になりました。

Integral Controller time response — 図-6: PI制御器を使用した閉ループ制御システム

Integral controller response — 図-7: 図-6に示すシステムの応答 (K=5.8, Ki=0.2)

比例微分制御器

名前が示すように、これは比例制御器と微分制御器の組み合わせであり、出力（アクチュエータ信号とも呼ばれる）は誤差信号の比例と微分の合計に等しいです。ここで、比例微分制御器を数学的に解析してみましょう。

我々が知っているように、比例微分制御器の出力は誤差の比例と誤差信号の微分の合計に比例します。これを数式で表すと以下のようになります。

比例関係の記号を除去すると、以下のようになります。

ここで、KdとKpはそれぞれ比例定数および微分定数です。
利点と欠点は、比例制御器と微分制御器の両方の利点と欠点の組み合わせです。

読者は、開ループ伝達関数に適切な位置で「ゼロ」を追加すると安定性が向上し、開ループ伝達関数に極を追加すると安定性が低下する可能性があることに注意してください。

上記の文章における「適切な位置」という言葉は非常に重要であり、これは制御システムの設計（つまり、複素平面上の適切なポイントにゼロと極を追加して所望の結果を得る）と呼ばれます。

PD制御器を挿入することは、開ループ伝達関数[G(s)H(s)]にゼロを追加することと同じです。PD制御器の図は図-8に示されています。

Proportional Derivative controller — 図-8：PD制御器を使用した閉ループ制御システム

現在の場合、K=5.8、Td=0.5の値を使用しています。そのステップ応答は図-9に示されています。図-9を図-5と比較することで、P制御器に微分部分を追加する効果を理解することができます。

Proportional derivative controller Time response — 図-9：K=5.8、Td=0.5の場合の図-8のシステムの応答

PD制御器の伝達関数はK+TdsまたはTd(s+K/Td)であり、-K/Tdに1つのゼロを追加しています。「K」または「Td」の値を制御することで、「ゼロ」の位置を決定することができます。

「ゼロ」が虚軸から非常に遠い場合、その影響は減少します。また、「ゼロ」が虚軸上（または非常に近く）にある場合も受け入れられません（根軌跡は通常「極」から始まり「ゼロ」で終了します。設計者の目標は一般に根軌跡が虚軸に向かわないようにすることであり、そのため虚軸に非常に近い「ゼロ」も受け入れられません。よって、「ゼロ」は適度な位置に保つべきです）

一般的に、PD制御器は過渡応答を改善し、PI制御器は制御システムの定常応答を改善するとされています。

比例積分微分制御器（PID制御器）

PID制御器は一般に、工業制御アプリケーションで温度、流量、圧力、速度、その他のプロセス変数を制御するために使用されます。

PID Controller, Proportional integral derivative controller — 図-10：PID制御器を使用した閉ループ制御システム

PID制御器の伝達関数は以下のようになります：

$Tds+K+\frac{Ki}{s}$ または $\frac{Tds^2+Ks+ Ki }{s}$

原点に固定された極が1つあり、残りのパラメータTd、K、およびKiが2つの零点の位置を決定します。

この場合、必要に応じて2つの複素零点または2つの実零点を保持することができます。したがって、PID制御器はより良い調整を提供することができます。かつては、PID制御器の設計（パラメータの調整）が少し難しかったため、PI制御器が制御エンジニアにとって最良の選択肢の一つでした。しかし、現在ではソフトウェアの発展により、PID制御器の設計が簡単なタスクになりました。

ステップ入力に対する応答で、K=5.8、Ki=0.2、およびTd=0.5の場合、その時間応答は図-11に示されています。図-11を図-9と比較してください（すべての時間応答を比較できるように値を選んでいます）。