Typi Regulatorum | Regulator Proportionalis Integralisque et Derivativus

Campus: Electrica Elementaria

China

Quid est Regulator?

In systematis regendi, regulator est mechanismus qui conatur minimizare differentiam inter valorem actualem systematis (i.e. variabile processus) et valorem desideratum systematis (i.e. punctum fixum). Regulatores sunt pars fundamentalis ingenieriae regendi et in omnibus systematibus regendi complexis utuntur.

Antequam te introducamus ad varios regulatores in detali, essentiale est scire usus regulatores in theoria systematum regendi. Usus importantissimi regulatores includunt:

Regulatores meliorant accurate statuari per minuendam errorem statuari.
Ut accurate statuari melioratur, stabilitas quoque melioratur.
Regulatores quoque iuvant in reducendo offsetta non desiderata producta ab systemate.
Regulatores possunt regere maximum excessum systematis.
Regulatores possunt iuvare in reducendo signala strepitus producta ab systemate.
Regulatores possunt iuvare in accelerando responsum tardum systematis superdampnati.

Varietates diversas harum regulorum codificantur intra dispositiva automotiva industrialia sicut programmabiles logicae regulatores et systemata SCADA. Varietas diversarum regulorum discussa est in detali infra.

Species Regulorum

Sunt duae species principes regulorum: regulatores continui, et regulatores discontinui.

In regulatoribus discontinuis, variabilis manipulata mutat inter valores discretos. Secundum quot diversos status variabilis manipulata assumere potest, distinctio fit inter duos positiones, tres positiones, et multi-positiones regulatores.

Comparato regulatoribus continuis, regulatores discontinui operantur in elementis finalibus regendi simplicibus, commutantibus.

Praecipua characteristica regulatorum continui est quod variabilis regenda (etiam cognita ut variabilis manipulata) habere potest ullum valorem intra ambitum exitus regulatoris.

Nunc in theoria regulatorum continui, sunt tres modi basales in quibus tota actio regendi locum habet, quae sunt:

Regulatores proportionales.
Regulatores integrales.
Regulatores derivativi.

Combinamus haec genera ad regulandum nostrum systema ita ut variabilis processus sit aequa puncto decretivo (vel quam proxime potest). Haec tria genera regulatorum possunt combinari in novos regulatores:

Regulatores proportionales et integrales (PI Controller)
Regulatores proportionales et derivativi (PD Controller)
Regulatores proportionales integrales derivativi (PID Controller)

Nunc singula haec genera regulatorum subtilius discutemus infra.

Regulatores Proportionales

Omnes regulatores suo propriae casui adhibendi sunt. Non possumus quemlibet regulatorem in quodam systemate inserere et bonum resultatum exspectare – certae conditiones impleri debent. Pro regulatore proportionali, duae conditiones sunt et haec sunt scripta infra:

Divergentia non debet magna esse; i.e. non debet magna divergentia inter input et output esse.
Divergentia non debet subita esse.

Nunc in conditione sumus ut regulatores proportionales discutamus, sicut nomen indicat, in regulatore proportionali output (quoque vocatur signal actuatoris) est directe proportionalis signal erroris. Nunc regulatorem proportionalem mathematica analysemus. Sicut scimus in regulatore proportionali output est directe proportionalis signal erroris, scribendo hoc mathematica habemus,

Signum proportionalitatis removendo habemus,

Ubi Kp est constans proportionalis quoque notus ut gain controlleris.

Recomendatur ut Kp maior quam unitas sit. Si valor Kp maior quam unitas (>1) est, tunc signum erroris amplificabitur et sic signum erroris amplificatum facile detegi potest.

Advantages of Proportional Controller

Nunc de aliquibus beneficiis controller proportionalis disseramus.

Controller proportionalis ad errorem status stabilis reducendum iuvat, ita systemam stabilius facit.
Responsum lente systematis supra dampnum celerari potest his controlleribus adiutante.

Disadvantages of Proportional Controller

Nunc sunt quaedam gravia incommoda huiusmodi controllerum, quae scribuntur sicut sequitur:

Propter praesentiam huiusmodi controllerum, obtinemus quaedam offset in systemate.
Controlleres proportionales etiam maximum overshoot systematis augeant.

Nunc explicabimus controllerem proportional (P-controller) exemplo unico. Hoc exemplo lectoris scientia de 'Stabilitate' et 'Errore Status Stabilis' etiam augescet. Considera systema controlis feedback Figura-1 ostensum

proportional controller error amplifier block diagram — Figura-1: Systema Controlis Feedback cum Controller Proportionali

'K' dicitur controller proportional (etiam dicitur error amplifier). Aequatio characteristic systematis huiusmodi scribi potest sicut:

s3+3s2+2s+K=0

Si applicatur Routh-Hurwitz in hac aequatione characteristica, tunc limes ‘K’ pro stabilitate reperiri potest ut 0<K<6. (Id significat quod pro valoribus K>6 systema instabil erit; pro valore K=0, systema marginaliter stabil erit).

Locus radicis huius systematis controlis monstratur in Figura-2

Root locus proportional controller time response — Figura-2: Locus radicis systematis ostensae in Figura-1, Locus Radicis dat ideam de valore ‘K’

(Potes intellegere quod locus radicis descriptus est pro functione transferentiae aperta (G(s)H(s), sed dat ideam de polis functionis transferentiae clausa, i.e. radices aequationis characteristicae, etiam dictae zeri aequationis characteristicae.

Locus radicis adiuvat in designando valorem ‘K’, i.e. gain controlatoris proportionalis). Itaque, systema (in Figura-1) est stabilis pro valoribus sicut K= 0.2, 1, 5.8 etc.; sed quid valorem debemus eligere. Analyzabimus unumquemque valorem et ostendemus tibi resultata.

Ut summarium, potes intellegere quod magnus valor ‘K’ (i.e., exempli gratia, K=5.8) stabilitatem minuet (hoc est inconvenientia) sed performance statim stabilem meliorabit (i.e. reducet errorem statim stabilem, quod erit commodum).

Potes intellegere quod

$K_p =\lim_{s\rightarrow 0}KG(s)H(s)$ , Error statim stabilis (ess)= $\frac{1}{1+K_p}$ (Applicabile in casu input step)

$K_v =\lim_{s\rightarrow 0}sKG(s)H(s)$ , error stabilis (ess)= $\frac{1}{K_v}$ (hoc est applicabile in casu input rampae)

$K_a =\lim_{s\rightarrow 0}s^2KG(s)H(s)$ , error stabilis (ess)= $\frac{1}{K_a}$ (hoc est applicabile in casu input parabolici)

Posse observari ut pro valore alto de ‘K’, valores Kp, Kv et Ka erunt alti et error stabilis erit bassus.

Nunc sumemus unicamque casum et explicabimus resultata

1. At K=0.2

In hoc casu aequatio characteristica systematis est s3+ 3s2+ 2s+0.2=0; radices huius aequationis sunt -2.088, -0.7909 et -0.1211; possumus neglegere -2.088 (quia longe ab axe imaginario). Super basis duarum reliquarum radicum, id potest nominari systema superdampnum (quia ambae radices sunt reales & negativae, nulla pars imaginaria).

Contra input gradus, responsus eius tempore monstratur in Fig-3. Posse videri quod responsus nullas oscillationes habet. (si radices sint complexae tunc responsus temporis exhibet oscillationes). Systema superdampnum habet dampnum maius quam ‘1’.

Tempus responsionis proportionalis superdampnata — Figura-3: Responsio sine oscillationibus, est responsio systematis superdampnati

In casu praesenti functio transferentiae aperti circuiti est $G(s)H(s)=\frac{0.2}{s(s+1)(s+2)}$

Margo lucris (GM)=29.5 dB, Margo phase (PM)=81.5°,

Notandum est quod in designando systematis controlis, systemata superdampnata non sunt praeferenda. Radices (poli functionis transferentiae clausi circuiti) debent habere partes imaginarias leves.

In casu superdampnato, dampnum est plus quam '1', dum dampnum circa 0.8 praeferetur.

2. At K=1

In hoc casu aequatio characteristica systematis est s3+ 3s2+ 2s+1=0; radices huius aequationis sunt -2.3247, -0.3376 ±j0.5623; -2.3247 ignorari potest.

Ex duabus radicibus reliquis, potest terminari ut systema subdampnatum (cum ambo radices sint complexae habentes partes reales negativas). Contra impulsum graduum, tempus responsionis demonstratur in Figura-4.

Tempus responsionis subdampnatae — Figura-4: Responsio cum oscillationibus, est responsio systematis subdampnati

In praesenti casu functio transferentiae circuiti aperti est $G(s)H(s)=\frac{1}{s(s+1)(s+2)}$

Suae Margo Amplificandi (GM)=15.6 dB, Margo Phasalis (PM)=53.4°,

3. At K=5.8

Cum 5.8 sit valde prope ad 6, itaque intellegi potest systema esse stabilis, sed fere in termino. Radices aequationis characteristicae inveniri possunt.

Una radix negligi potest, reliquae duae radices erunt valde prope axem imaginariam. (Radices aequationis characteristicae erunt -2.9816, -0.0092±j1.39). Contra impulsum gradus, responsus temporis ostenditur in Fig-5.

Transient response underdamped controller — Figura-5: Responsus oscillationes habet, est responsus systematis subdampnati (Responsus in Figura-4 quoque pertinet ad systema subdampnatum)

In praesenti casu functio transferentiae circuiti aperti est $G(s)H(s)=\frac{5.8}{s(s+1)(s+2)}$

Suae Margo Amplificandi=0.294 db, Margo Phasalis =0.919°

Analyzari potest, comparato cum casibus prioribus, GM & PM valde diminuuntur. Cum systema sit valde prope instabilitatem, ideo GM & PM etiam valde prope valorem zero sunt.

Regulatores Integralis

Ut nomen indicat in regulatoribus integralibus output (quoque vocatur signal actuatoris) directe proportionalis est integralem signali erroris. Nunc analyzamus regulatores integrales mathematiciter.

Ut scimus in controller integrale output directe proportionale est ad integrationem signali erroris, scribendo hoc mathematica habemus,

Removendo signum proportionalitatis habemus,

Ubi Ki est constantia integralis etiam cognita ut gain controller. Controller integralis etiam cognitus est ut reset controller.

Advantages of Integral Controller

Propter eius facultatem unicum, controllers integrales possunt reverti variabilem controlatum ad exactam punctum set post perturbationem, quare hae cognoscuntur ut reset controllers.

Disadvantages of Integral Controller

Tendit system instabilire facere quia tarde respondet ad errorem productum.

Derivative Controllers

Numquam soli controllers derivativi utimur. Debent in combinationibus cum aliis modis controllerum uti propter paucos sui inconvenientia quae infra scripta sunt:

Nunquam meliorat error statu stabili.
Producit effectus saturationis et amplificat signales sonorum in systemate productos.

Nunc, sicut nomen indicat in controller derivativo output (etiam vocatur signal actuator) directe proportionale est ad derivativum signali erroris.

Nunc analysemus controller derivativum mathematica. Ut scimus in controller derivativo output directe proportionale est ad derivativum signali erroris, scribendo hoc mathematica habemus,

Removendo signum proportionis habemus

ubi Kd est constans proportionalis etiam notus ut incrementum controller. Controller derivativus etiam notus ut controller celeritatis.

Advantagia Controller Derivativi

Maior advantagium controller derivativi est quod meliorat responsionem transitoriam systematis.

Controller Proportionalis et Integralis

Ut nomen indicat est combinatio controller proportionalis et integralis cuius output (etiam notus ut signal actuans) est aequalis summae proportionalis et integrationis signalis erroris.

Nunc analizemus controller proportionalis et integralis mathematica.

Sicut scimus in controller proportionalis et integralis output directe proportionalis est summae proportionalis erroris et integrationis signalis erroris scribendo hoc mathematica habemus

Removendo signum proportionis habemus

ubi Ki et kp constantes proportionalis et integralis respectu.

Advantagia et disvantagia sunt combinationes advantagiorum et disvantagiorum controller proportionalis et integralis.

Per PI controller addimus unum polum ad originem et unum zero aliquando ab origine (in parte sinistra plani complexi).

Cum polus est in origine, eius effectus erit maior, ideoque controller PI potest stabilitatem reducere; sed eius principale praebium est quod error stacionarius valde minuitur, propter hanc rationem est unus ex maximis usitatissimis controlleribus.

Schema diagrammaticum controlleris PI ostenditur in Fig-6. Contra input gradus, pro valoribus K=5.8, Ki=0.2, eius responsio temporis, ostenditur in Fig-7. Ad K=5.8 (quasi P-controller, fuit in limine instabilitatis, itaque addendo parvum valorem partis integralis, factus est instabilis.

Nota pars integralis stabilitatem minuit, quod non significat quod systema semper instabile erit. In casu presenti, addidimus partem integralem et systema factum est instabile).

Integral Controller time response — Figura-6: Systema controlis clausi cum controller PI

Integral controller response — Figura-7: Responsio systematis ostensa in Figura-6, cum K=5.8, Ki=0.2

Controller Proportionalis et Derivativus

Ut nomen indicat, est combinatio controlleris proportionalis et derivativi, output (etiam signal actuatoris appellatur) aequivalens est summationi proportionalis et derivativi signalis erroris. Nunc analizemus controller proportionalem et derivativum mathematiciter.

Quemadmodum scimus in controller proportionali et derivativo, output directe proportionalis est summationi proportionalis erroris et differentiationi signalis erroris, hoc mathematiciter scribentes habemus,

Signum proportionalitatis removendo habemus,

Ubi Kd et Kp constantes proportionalis et derivativae sunt respectiviter.
Vantagia et disvantagia sunt combinationes vantagiorum et disvantagiorum controllerum proportionalium et derivativarum.

Lectores debent notare quod additio 'zeri' in loco proprio in functione transferendi aperti stabilitatem meliorat, dum additio poli in functione transferendi aperti stabilitatem diminuat.

Verba “in loco proprio” in sententia supra sunt valde importantia & designatio systematis controlis dicitur (id est utrumque zeri & polus ad puncta propria in plano complexo adiecti debent ad effectum desideratum obtinendum).

Insertio controlleris PD similis est additioni zerorum in functione transferendi aperti [G(s)H(s)]. Diagramma controlleris PD ostenditur in Fig-8

Controller Proportional Derivative — Figura-8: Systema controlis clausi cum Controller PD

In casu praesente, valores K=5.8, Td=0.5 sumus accepti. Temporalis responsus eius, contra inputum graduum, ostenditur in Fig-9. Potes Fig-9 comparare cum Fig-5 et effectum insertionis partis derivativae in controller P intelligere.

Controller Proportional derivative Temporalis responsus — Figura-9: Responsus systematis ostendi in Figura-8, cum K=5.8, Td=0.5

Function transferendi controlleris PD est K+Tds vel Td(s+K/Td); itaque unum zeri ad -K/Td adiecit. Per valoris 'K' vel 'Td' controllandum, positio 'zeri' decidenda est.

Si 'zerus' est longe ab axe imaginario, eius influentia diminuetur, si 'zerus' est in axe imaginario (vel valde prope axem imaginarium) non acceptabitur (locus radicum generaliter a 'polis' & terminatur ad 'zeri', finis designeris est ut locus radicum non tendat ad axem imaginarium, ob hanc rationem 'zerus' valde prope axem imaginarium non acceptabilis est, ideo moderata positio 'zeri' tenenda est)

Generaliter dicitur, ut controller PD perficiat praestantiam transitoriam et controller PI perficiat praestantiam in statu stacionario systematis controlis.

Controller Proportional plus Integral plus Derivativus (Controller PID)

Controller PID generaliter adhibetur in applicationibus controlis industrialibus ad regulandum temperaturam, fluxum, pressionem, celeritatem, et alias variabiles processus.

PID Controller, Proportional integral derivative controller — Figura-10: Systema controlis cum controller PID

Functio transferendi controller PID potest inveniri ut:

$Tds+K+\frac{Ki}{s}$ vel $\frac{Tds^2+Ks+ Ki }{s}$

Observari potest unum polem in origine fixum, reliquae parametri Td, K, et Ki decidunt positionem duorum zerorum.

In hoc casu, possumus duos zerorum complexos vel duos zerorum reales secundum requirementum, ideo controller PID potest melius adaptari. In diebus antiquis, controller PI erat una ex optimis electionibus ingeniorum controlis, quia designatio (adaptatio parametrorum) controller PID erat parum difficile, sed hodie, propter developmentum software, designatio controller PID facta est facilis res.

Contra input gradus, pro valoribus K=5.8, Ki=0.2, et Td=0.5, eius responsus temporis, ostenditur in Figura-11. Compare Figura-11 cum Figura-9 (Valores sumus sumpsimus tales ut omnes responsus temporis comparari possint).

Tempus responsionis controlatoris PID — Figura-11: Responsio systematis ostensa in Figura-10, cum K=5.8, Td=0.5, Ki=0.2

Directiva generalis pro designando controlatoris PID

Cum designas controlatoris PID pro dato systemate, directivae generalis ad obtinendam responsionem desideratam sunt sequentes:

Obtine responsionem transientem functionis transferentiae clausi circuitus et determina quid melioretur.
Inserito controlatoris proportionalis, designa valorem ‘K’ per Routh-Hurwitz aut software idoneum.
Adde partem integralis ut reducas errorem stacionarium.
Adde partem derivativam ut augeas amortitionem (amortitio debet esse inter 0.6-0.9). Pars derivativa reducet excessus et tempus transitorium.
Sisotool, disponibilis in MATLAB, potest etiam uti ad regulandum proprium et obtinendum responsionem totalem desideratam.
Notandum, praecedentes passus regulationis parametrarum (designatio systematis controlantis) sunt directivae generalis. Non sunt passus fixi pro designando controlatoribus.

Controlatores logicae fuzzy

Controlatores logicae fuzzy (FLC) utuntur ubi systemata sunt valde nonlinearia. Generaliter plura systemata physica/Electrica sunt valde nonlinearia. Propter hanc rationem, controlatores logicae fuzzy sunt bonum electum inter investigatores.

Modello mathematico accurato non est opus in FLC. Operatur input basati super experientiis praeteritis, potest gerere nonlinearietates et potest praebere insensibilitatem disturbantium maior quam plures alii controlatores nonlineares.

FLC fundatur super setibus fuzzy, i.e. classibus objectorum in quibus transitus ab membro ad nonmembri est suavis magis quam abruptus.

In recentibus developmentibus, FLC praestavit alios controlatores in systematibus complexis, nonlineari vel indefinitis, pro quibus bona cognitio practica existit. Itaque, termini setiarum fuzzy possunt esse vagi et ambigui, facientes eas utiliores pro modellis approximationis.

Passus importantis in procedura synthesis controlatoris fuzzy est definire variabiles input et output basatas super experientiis praeteritis aut cognitione practica.

Hoc fit conformiter cum functione expectata controlatoris. Non sunt regulae generalis ad selectandas illas variabiles, tamen typice variabiles selectae sunt status systematis controlati, eorum errores, varietas erroris et accumulatio erroris.

Declaratio: Respektare originale, boni articuli digni sunt ut communicentur, si ius violatum est, obsecro ut deleas.

Donum da et auctorem hortare

Thematibus:

Systemata Electrica

Systemata Controlis

De expertis

Electrical4u

China

Area Expertiae

Basic Electrical

Articulus professionalis

607