Freie-Elektronen-Theorie der Metalle

Metalle bilden eine einzigartige Art von Bindung, bekannt als Metallbindung, und bilden das Gitter. Die Einzigartigkeit dieser Art der Bindung liegt darin, dass im Gegensatz zu ionischer und kovalenter Bindung, bei denen die Elektronen zwischen zwei Atomen geteilt werden und die Elektronen lokalisiert bleiben, in der Metallbindung die Bindung unter allen Atomen im Gitter gebildet wird und die freien Elektronen jedes Atoms vom gesamten Gitter geteilt werden. Diese freien Elektronen bewegen sich frei im Gitter und werden daher als Elektronengas bezeichnet.
Wenn man die Wechselwirkungen zwischen den Elektronen und zwischen den Elektronen und Ionen vernachlässigt, scheint es, als ob die Elektronen in einer begrenzten Box mit periodischen Kollisionen mit den Ionen im Gitter bewegen. Diese Idee wurde von Drude vorgeschlagen und er nutzte sie, um viele Eigenschaften von Metallen zufriedenstellend zu erklären, wie zum Beispiel elektrische Leitfähigkeit, thermische Leitfähigkeit usw.

Drude wendete einfache Mechanikgleichungen auf die Elektronen an, um mehrere Ausdrücke abzuleiten und auch das Ohmsche Gesetz herzuleiten. Normalerweise sind die Elektronen durch thermische Energie in einer zufälligen Bewegung im Gitter, wobei der netto durchschnittliche Effekt Null ist. Wenn jedoch ein elektrisches Feld auf das Metall angewendet wird, wird auf jedes Elektron eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente überlagert, bedingt durch die Kraft, die aufgrund seiner Ladung auf es wirkt.

Gemäß der Newtonschen Mechanik können wir schreiben-

Wobei, e = Ladung des Elektrons,
E = angewendetes elektrisches Feld in V/m
m = Masse des Elektrons
x = Entfernung in Richtung der Bewegung.

Integration der Gleichung (i)

Wobei A und C Konstanten sind.

Gleichung (ii) ist die Gleichung der Geschwindigkeit der Elektronen, daher hat C die Dimension der Geschwindigkeit und kann nur die zufällige Geschwindigkeit des Elektrons sein, die es am Anfang hatte, als kein Feld angewendet wurde. Daher,
Wie wir jedoch bereits besprochen haben, ergibt sich diese zufällige Geschwindigkeit im Durchschnitt zu Null, so dass die durchschnittliche Geschwindigkeit der Elektronen wie folgt geschrieben werden kann-

Die obige Gleichung zeigt, dass die Geschwindigkeit unendlich mit der Zeit zunimmt, solange E eingeschaltet ist, was jedoch nicht möglich ist. Die Erklärung hierfür lautet, dass die Elektronen sich nicht frei im Gitter bewegen, sondern mit den Ionen im Gitter kollidieren, ihre Geschwindigkeit verlieren, wieder beschleunigt werden und wieder kollidieren, und so weiter.

Daher betrachten wir, wenn wir den durchschnittlichen Effekt sehen, dass die durchschnittliche Zeit zwischen zwei Kollisionen T beträgt, bekannt als Relaxationszeit oder Kollisionszeit, und die durchschnittliche Geschwindigkeit, die die Elektronen in der Zeit T erreichen, wird als Driftgeschwindigkeit bezeichnet.

Nun, für die Anzahl der Elektronen pro Volumeneinheit n, wird die Menge der Ladung, die in der Zeit dt durch eine Querschnittsfläche A fließt, gegeben durch

Daher wird der fließende Strom gegeben durch,

Und daher wird die Stromdichte gegeben durch,

Indem wir den Wert der Driftgeschwindigkeit aus den Gleichungen (iv) in (v) einsetzen,

Was nichts anderes ist als das Ohmsche Gesetz selbst, wobei,

Hier definieren wir einen neuen Begriff, bekannt als Mobilität, definiert als Driftgeschwindigkeit pro Einheit elektrisches Feld,

Ihre Einheit ist