Fri Elektron Teori for Metaller

Metaller danner en unik type binding, kendt som metallisk binding, og danner et gitterstruktur. Unikaliteten i denne type binding ligger i, at imod ionbinding og kovalent binding, hvor elektronernes deling er mellem to atomer, og elektronerne forbliver lokaliserede, er bindningen i metallisk binding dannet mellem alle atomer i gitteret, og de frie elektroner fra hvert atom deles af hele gitteret. Disse frie elektroner bevæger sig frit igennem gitteret og kaldes derfor for elektrongas.
Når man ignorerer interaktionen mellem elektroner og mellem elektroner og ioner, ser det ud som om, at elektronerne bevæger sig i en begrænset boks med periodiske kollisioner med ioner i gitteret. Dette ide blev fremsat af Drude, og han anvendte den til at forklare mange egenskaber ved metaller tilfredsstillende, såsom elektrisk ledeevne, termisk ledeevne osv.

Drude anvendte ligninger fra simpel mekanik på elektroner for at udlede flere udtryk og også komme frem til Ohms lov. Normalt er elektronerne i en tilfældig bevægelse igennem gitteret, hvilket primært skyldes termisk energi, og det netto gennemsnitlige effekt er nul. Men når elektrisk felt anvendes på metallet, lægges en anden hastighedskomponent oven på hver elektron på grund af kraften, der virker på det på grund af dens ladning.

Ifølge Newtons mekanik kan vi skrive-

Hvor, e = ladning på elektron,
E = anvendt elektrisk felt i V/m
m = masse af elektron
x = afstand i bevægelsens retning.

Integrerer ligning (i)

Hvor, A og C er konstanter.

Ligning (ii) er ligningen for elektronernes hastighed, derfor har C dimensioner for hastighed, og kan kun være en tilfældig hastighed, som elektronet havde i begyndelsen, da ingen felt var anvendt. Derfor,
Men som vi tidligere har diskuteret, udligner denne tilfældige hastighed til nul, og derfor kan den gennemsnitlige hastighed af elektronerne skrives som-

Den ovenstående ligning indikerer, at hastigheden fortsætter med at stige ubegrænset med tiden, indtil E slås til, men dette er ikke muligt. Forklaringen herpå er, at elektronerne ikke bevæger sig frit i gitteret, snarere kolliderer de med ionerne, der findes i gitterstrukturen, mister deres hastighed, bliver igen accelereret, kolliderer igen osv.

Derfor, ved at se på den gennemsnitlige effekt, betragter vi, at gennemsnitligt tiden mellem to kollisioner er T, kendt som relakseringstid eller kollisionsperiode, og den gennemsnitlige hastighed, som elektroner opnår i T-tidsrummet, kaldes for drifthastighed.

Nu, for antallet af elektroner pr. enhedsvolumen som n, vil mængden af ladning, der passerer gennem et tværsnit A i tiden dt, blive givet ved

Derfor vil den strøm, der flyder, blive givet ved,

Og derfor vil strømtætheden være,

Ved at sætte værdien af drifthastighed fra ligninger (iv) i (v),

Hvilket intet andet er end Ohms lov selv, hvor,

Nu definerer vi et nyt begreb, kendt som mobilitet, defineret som drifthastighed pr. enhed elektrisk felt,

Dets enhed er