Теория свободных электронов в металлах

Металлы образуют уникальный тип связи, известный как металлическая связь, и формируют решетчатую структуру. Уникальность такого типа связи заключается в том, что, в отличие от ионной и ковалентной связи, при которых обмен электронами происходит между двумя атомами и электроны остаются локализованными, в металлической связи связь образуется между всеми атомами в решетке, и свободные электроны каждого атома разделяются всей решеткой. Эти свободные электроны свободно перемещаются по всей решетке, поэтому их называют электронным газом.
Пренебрегая взаимодействием электрон-электрон и электрон-ион, можно сказать, что электроны движутся в ограниченном пространстве с периодическими столкновениями с ионами в решетке. Эта идея была предложена Друде, который использовал ее для удовлетворительного объяснения многих свойств металлов, таких как электрическая проводимость, теплопроводность и т.д.

Друде применил уравнения простой механики к электронам, чтобы вывести несколько выражений и прийти к закону Ома. Обычно электроны случайным образом движутся по всей решетке, что в основном обусловлено тепловой энергией, и нетто средний эффект оказывается равным нулю. Однако, когда электрическое поле применяется к металлу, на каждый электрон накладывается дополнительная компонента скорости из-за силы, действующей на него благодаря его заряду.

Согласно ньютоновской механике, мы можем записать-

Где, e = заряд электрона,
E = приложенное электрическое поле в В/м
m = масса электрона
x = расстояние в направлении движения.

Интегрируя уравнение (i)

Где, A и C - константы.

Уравнение (ii) является уравнением скорости электронов, следовательно, C имеет размерность скорости, и может быть только случайной скоростью электрона, которую он имел на начальной стадии, когда поле не было применено. Таким образом,
Однако, как мы уже обсуждали ранее, эта случайная скорость в среднем равна нулю, следовательно, средняя скорость электронов может быть записана как-

Вышеуказанное уравнение указывает, что скорость продолжает увеличиваться бесконечно со временем, пока E не будет выключено, однако это невозможно. Объяснение этому состоит в том, что электроны не двигаются свободно в решетке, а сталкиваются с ионами, присутствующими в решеточной структуре, теряют свою скорость, снова ускоряются, снова сталкиваются и так далее.

Таким образом, рассматривая средний эффект, мы считаем, что в среднем время между двумя столкновениями равно T, известное как время релаксации или время столкновения, а средняя скорость, достигнутая электронами за время T, известна как скорость дрейфа.

Теперь, для числа электронов на единицу объема n, количество заряда, проходящего через поперечное сечение A за время dt, будет дано

Таким образом, текущий поток будет дан как,

А следовательно, плотность тока будет,

Подставляя значение скорости дрейфа из уравнений (iv) в (v),

Что и есть ничто иное, как закон Ома, где,

Теперь здесь мы определяем новый термин, известный как подвижность, определенная как скорость дрейфа на единицу электрического поля,

Его единица измерения