Teoría do electrón libre nos metais

Os metais forman un tipo único de enlace coñecido como enlace metálico e forman a estrutura reticular. A singularidade deste tipo de enlace reside no feito de que, a diferencia do enlace iónico e do enlace covalente, onde a compartición de eléctrons é entre dous átomos e os eléctrons permanecen localizados, no enlace metálico o enlace fórmase entre todos os átomos na rede e os eléctrons libres de cada átomo compártese por toda a rede. Estes eléctrons libres móvense libremente por toda a rede e, polo tanto, denomínanse gas de eléctrons.
Desprezando a interacción eléctron-eléctron e a interacción eléctron-ión, parece que os eléctrons movense nunha caixa confinada con colisións periódicas cos íons na rede. Esta idea foi dada por Drude e utilizouna para explicar satisfactoriamente moitas propiedades dos metais como a conductividade eléctrica, a conductividade térmica, etc.

Drude aplicou ecuacións de mecánica simple aos eléctrons para derivar varias expresións e tamén chegar á Llei de Ohm. Normalmente, os eléctrons están en movemento aleatorio por toda a rede, principalmente debido á enerxía térmica, e o efecto medio neto resulta ser cero. No entanto, cando se aplica un campo eléctrico ao metal, superpónese outro compoñente de velocidade a cada electrón debido á forza que actúa sobre el debido á súa carga.

Segundo a mecánica newtoniana podemos escribir-

Onde, e= carga no electrón,
E = campo eléctrico aplicado en V/m
m = masa do electrón
x = distancia na dirección do movemento.

Integrando a ecuación (i)

Onde, A e C son constantes.

A ecuación (ii) é a ecuación da velocidade dos eléctrons, polo que C ten dimensión de velocidade, e só pode ser a velocidade aleatoria do electrón que tiña na etapa inicial cando non se aplicaba ningún campo. Polo tanto,
No entanto, como discutimos anteriormente, esta velocidade aleatoria media a cero, polo que a velocidade media dos eléctrons pode escribirse como-

A ecuación anterior indica que a velocidade aumenta indefinidamente co tempo ata que E sexa activado, pero isto non é posible. A explicación a isto dáse dicindo que os eléctrons non se moven libremente na rede, senón que colisionan cos íons presentes na estrutura reticular, perden a súa velocidade e volven a acelerarse e volven a colisionar, e así sucesivamente.

Polo tanto, vendo o efecto medio consideramos que, en media, o tempo entre dúas colisións é T, coñecido como o tempo de relaxación ou tempo de colisión, e a velocidade media alcanzada polos eléctrons no período de tempo T coñécese como velocidade de deriva.

Agora, para o número de eléctrons por unidade de volume como n, a cantidade de carga que pasa a través dunha sección transversal A no tempo dt darase por

Polo tanto, a corrente que fluye darase por,

E polo tanto a densidade de corrente será,

Ponendo o valor da velocidade de deriva das ecuacións (iv) en (v),

Que non é nada máis que a Llei de Ohm mesma, onde,

Agora definimos un novo termo coñecido como mobilidade, definida como a velocidade de deriva por unidade de campo eléctrico,

A súa unidade é