Teorie volných elektronů v kovech

Kovy tvoří unikátní typ vazby známý jako kovová vazba a vytvářejí krystalickou strukturu. Unikátnost této vazby spočívá v tom, že na rozdíl od iontové a kovalentní vazby, kde elektrony jsou sdíleny mezi dvěma atomy a zůstávají lokalizovány, u kovové vazby se vazba tvoří mezi všemi atomy v mřížce a volné elektrony z každého atomu jsou sdíleny celou mřížkou. Tyto volné elektrony se svobodně pohybují po celé mřížce a proto se nazývají elektronový plyn.
Pokud zanedbáme interakci elektron-elektron a elektron-ion, zdá se, že elektrony pohybují v uzavřené krabici s periodickými srážkami s ionty v mřížce. Tuto myšlenku předložil Drude a použil ji k uspokojivému vysvětlení mnoha vlastností kovů, jako je například elektrická vodivost, tepelná vodivost atd.

Drude aplikoval rovnice jednoduché mechaniky na elektrony, aby odvodil několik výrazů a také dosáhl Ohmova zákona. Obvykle se elektrony náhodně pohybují po celé mřížce, což je primárně způsobeno tepelnou energií, a jejich netový průměrný efekt je nulový. Avšak když je na kov aplikováno elektrické pole, na každý elektron se superponuje další složka rychlosti v důsledku síly působící na něj díky jeho náboji.

Podle newtonské mechaniky můžeme napsat-

Kde, e = náboj elektronu,
E = aplikované elektrické pole v V/m
m = hmotnost elektronu
x = vzdálenost ve směru pohybu.

Integrace rovnice (i)

Kde, A a C jsou konstanty.

Rovnice (ii) je rovnice rychlosti elektronů, proto má C dimenzi rychlosti a může být pouze náhodnou rychlostí elektronu, kterou měl na začátku, kdy nebylo aplikováno žádné pole. Proto,
Jak jsme však dříve diskutovali, tato náhodná rychlost se vyrovná na nulu, takže průměrná rychlost elektronů lze zapsat jako-

Výše uvedená rovnice ukazuje, že rychlost se neustále zvyšuje s časem, dokud není E zapnuto, avšak to není možné. Vysvětlením tohoto je, že elektrony se nevolně pohybují v mřížce, ale spíše kolizují s ionty přítomnými v mřížkové struktuře, ztrácejí svou rychlost, opět se zrychlují, opět kolizují a tak dále.

Proto, když vezmeme v úvahu průměrný efekt, uvažujeme, že průměrný čas mezi dvěma kolizemi je T, známý jako relaxační doba nebo doba kolize, a průměrná rychlost dosažená elektrony během času T se nazývá driftní rychlost.

Nyní, pro počet elektronů na jednotku objemu jako n, množství náboje procházející plochou A během času dt bude dáno vztahem

Tedy proud, který teče, bude dáno vztahem,

A tedy hustota proudu bude,

Dosazením hodnoty driftní rychlosti z rovnic (iv) do (v),

Což je nic jiného než Ohmův zákon, kde,

Nyní definujeme nový termín známý jako mobilita, definovaná jako driftní rychlost na jednotku elektrického pole,