Теория на свободните електрони в металите

Металите образуват уникален вид връзка, известен като метална връзка, и формират решетъчна структура. Уникалността на този вид връзка се корени в факта, че в противовес на ионната и ковалентната връзка, при които споделянето на електрони е между две атоми и електроните остават локализирани, при металната връзка връзката се формира между всички атоми в решетката и свободните електрони от всеки атом се споделят от цялата решетка. Тези свободни електрони се движат свободно по цялата решетка и затова се наричат електронен газ.
Ако пренебрегнем взаимодействието между електроните и взаимодействието между електроните и ионите, изглежда, че електроните се движат в ограничена кутия с периодични сблъсъци с ионите в решетката. Тази идея беше дадена от Друде, който я използва за удовлетворително обяснение на много свойства на металите, като електрична проводимост, теплопроводимост и т.н.

Друде приложи уравненията на простата механика върху електроните, за да изведе няколко израза и да достигне до Закона на Ом. Обикновено електроните се движат случайно по цялата решетка, което е предимно поради термичната енергия, и нетният среден ефект се оказва нула. Но когато електрично поле се приложи към метал, друг компонент на скоростта се наслагва върху всеки електрон поради силата, действаща върху него поради неговото зареждане.

Според нютоновата механика можем да запишем-

Където, e= заряд на електрона,
E = приложено електрично поле в V/m
m = маса на електрона
x = разстояние в посоката на движение.

Интегриране на уравнение (i)

Където, A и C са константи.

Уравнение (ii) е уравнение за скоростта на електроните, следователно C има размерност на скорост и може да бъде само случайна скорост на електрона, която той имаше в началния момент, когато не е приложено поле. Следователно,
Както обсъждахме по-рано, тази случайна скорост средно дава нула, следователно средната скорост на електроните може да се запише като-

Посоченото уравнение показва, че скоростта продължава да се увеличава безкрайно с времето, докато E е включено, но това не е възможно. Обяснението за това е, че електроните не се движат свободно в решетката, а се сблъскват с ионите, налични в решетката, губят своята скорост, отново се ускоряват, пак се сблъскват и т.н.

Следователно, като наблюдаваме средния ефект, приемаме, че средно времето между два сблъсъка е T, известно като време на релаксация или време на сблъсък, и средната скорост, достигната от електроните за време T, е известна като дрифтова скорост.

Сега, за броя на електроните в единица обем n, количеството заряд, минаващо през сечение A за време dt, ще бъде дадено от

Следователно протичащият ток ще бъде даден от,

И следователно плътността на тока ще бъде,

Замествайки стойността на дрифтова скорост от уравненията (iv) в (v),

Което е нищо друго освен Законът на Ом, където,

Сега дефинираме нов термин, известен като подвижност, определен като дрифтова скорост във единица електрично поле,