Теория свободных электронов в металлах

فلزات نوع منحصر به فرد از پیوند شکل می‌دهند که پیوند فلزی نامیده می‌شود و ساختار شبکه‌ای را تشکیل می‌دهند. جالبیت این نوع پیوند در این است که بر خلاف پیوند یونی و پیوند کووالانسی که در آنها تقسیم الکترون بین دو اتم صورت می‌گیرد و الکترون‌ها محلی می‌مانند، در پیوند فلزی پیوند بین تمام اتم‌های موجود در شبکه تشکیل می‌شود و الکترون‌های آزاد هر اتم توسط کل شبکه به اشتراک گذاشته می‌شوند. این الکترون‌های آزاد در کل شبکه آزادانه حرکت می‌کنند و بنابراین به عنوان گاز الکترونی شناخته می‌شوند.
در صورت نادیده گرفتن تعامل الکترون-الکترون و تعامل الکترون-یون، به نظر می‌رسد که الکترون‌ها در یک جعبه محدود با برخورد دوره‌ای با یون‌های موجود در شبکه حرکت می‌کنند. این ایده توسط دروده مطرح شد و او آن را برای توضیح خواص زیادی از فلزات مانند رسانایی الکتریکی، رسانایی حرارتی و غیره به خوبی استفاده کرد.

دروده معادلات مکانیک ساده را روی الکترون‌ها اعمال کرد تا چند عبارت بدست آورد و همچنین به قانون اهم رسید. معمولاً الکترون‌ها در کل شبکه به طور تصادفی حرکت می‌کنند که عمدتاً به دلیل انرژی گرمایی است و تأثیر متوسط صفر می‌شود. با این حال، وقتی میدان الکتریکی به فلز اعمال می‌شود، مؤلفه دیگری از سرعت به هر الکترون اضافه می‌شود به دلیل نیروی وارد شده به آن به دلیل بار آن.

بر اساس مکانیک نیوتونی می‌توانیم بنویسیم-

که در آن، e = بار الکترون،
E = میدان الکتریکی اعمال شده در V/m
m = جرم الکترون
x = فاصله در جهت حرکت.

انتگرال گیری از معادله (i)

که در آن، A و C ثابت‌هایی هستند.

معادله (ii) معادله سرعت الکترون‌ها است، بنابراین C بعد سرعت دارد و تنها می‌تواند سرعت تصادفی الکترون باشد که در مرحله اولیه بدون اعمال میدان داشت. بنابراین،
با این حال، همانطور که قبلاً بحث شد، این سرعت تصادفی به صفر میانگین می‌شود، بنابراین می‌توان سرعت متوسط الکترون‌ها را به صورت زیر نوشت-

معادله فوق نشان می‌دهد که سرعت به طور نامحدود با زمان افزایش می‌یابد تا زمانی که E روشن باشد، اما این امکان‌پذیر نیست. توضیح این موضوع این است که الکترون‌ها به طور آزاد در شبکه حرکت نمی‌کنند، بلکه با یون‌های موجود در ساختار شبکه برخورد می‌کنند و سرعت خود را از دست می‌دهند و دوباره شتاب می‌گیرند و دوباره برخورد می‌کنند و به همین ترتیب.

بنابراین با توجه به تأثیر متوسط، ما فرض می‌کنیم که متوسط زمان بین دو برخورد T است که به عنوان زمان آرام‌سازی یا زمان برخورد شناخته می‌شود و سرعت متوسطی که الکترون‌ها در زمان T به دست می‌آورند به عنوان سرعت جریان شناخته می‌شود.

حالا، برای تعداد الکترون‌ها در واحد حجم n، مقدار بار عبور کرده از مقطع A در زمان dt به صورت زیر خواهد بود

بنابراین جریان عبوری به صورت زیر خواهد بود،

و بنابراین چگالی جریان خواهد بود،

جایگذاری مقدار سرعت جریان از معادلات (iv) در (v)،

که همان قانون اهم است، که در آن،

حالا ما یک مفهوم جدید به نام متحرکیت تعریف می‌کنیم که به عنوان سرعت جریان در واحد میدان الکتریکی تعریف می‌شود،