Teoria del electró libre dels metalls

Els metalls formen un tipus únic de vinculació conegut com a vinculació metàlica i formen l'estructura reticular. La singularitat d'aquest tipus de vinculació resideix en el fet que, diferentment de la vinculació iònica i covalenta, on la compartició d'electrons és entre dos àtoms i els electrons romand localitzats, en la vinculació metàlica el vincle es forma entre tots els àtoms de la retícula i els electrons lliures de cada àtom són compartits per tota la retícula. Aquests electrons lliures es mouen lliurement a través de la retícula i, per tant, s'anomenen gas d'electrons.
Ignorant la interacció electró-electró i la interacció electró-ió, sembla que els electrons es moguin en una caixa confinada amb col·lisions periòdiques amb els ions de la retícula. Aquesta idea fou donada per Drude, i la utilitzà per explicar satisfactòriament moltes propietats dels metalls, com la conductivitat elèctrica, la conductivitat tèrmica, etc.

Drude aplicà les equacions de la mecànica simple als electrons per derivar diverses expressions i arribar a la Llei d'Ohm. Normalment, els electrons es mouen de manera aleatòria a través de la retícula, principalment degut a l'energia tèrmica, i l'efecte net mitjà resulta ser zero. Tanmateix, quan es aplica un camp elèctric al metall, es superposa un altre component de velocitat a cada electró degut a la força que actua sobre ell per virtut de la seva càrrega.

Segons la mecànica newtoniana, podem escriure-

On, e = càrrega de l'electró,
E = camp elèctric aplicat en V/m
m = massa de l'electró
x = distància en la direcció del moviment.

Integrant l'equació (i)

On, A i C són constants.

L'equació (ii) és l'equació de la velocitat dels electrons, per tant, C té la dimensió de la velocitat, i només pot ser la velocitat aleatòria de l'electró que tenia a l'estadi inicial quan no s'aplicava cap camp. Per tant,
Tanmateix, com hem discutit anteriorment, aquesta velocitat aleatòria es compensa a zero, per tant, la velocitat mitjana dels electrons es pot escriure com-

La equació anterior indica que la velocitat continua augmentant indefinidament amb el temps fins que E es desactiva, però això no és possible. L'explicació a això es dóna afegint que els electrons no es mouen lliurement a la retícula, sinó que col·lideixen amb els ions presents a l'estructura reticular, perdent la seva velocitat i tornant a accelerar-se i col·lidir, i així successivament.

Per tant, considerant l'efecte mitjà, assumim que, en mitjana, el temps entre dues col·lisions és T, conegut com a temps de relaxació o temps de col·lisió, i la velocitat mitjana assolida pels electrons en el període de temps T és coneguda com a velocitat de deriva.

Ara, pel nombre d'electrons per unitat de volum n, la quantitat de càrrega que passa a través d'una secció transversal A en el temps dt estarà donada per

Per tant, la corrent que flueix estarà donada per,

I, per tant, la densitat de corrent serà,

Substituint el valor de la velocitat de deriva de les equacions (iv) en (v),

El qual no és res més que la Llei d'Ohm mateixa, on,

Ara aquí definim un nou terme conegut com a mobilitat, definit com la velocitat de deriva per unitat de camp elèctric,

La seva unitat és