金属の自由電子理論

金属は金属結合という独特の結合を形成し、格子構造を作ります。このような結合の特異性は、イオン結合や共有結合のように電子が2つの原子間で共有され局所化されるのとは異なり、金属結合では格子内のすべての原子間に結合が形成され、各原子からの自由電子が全体の格子によって共有されます。これらの自由電子は格子全体を自由に動き回るため、電子ガスと呼ばれます。
電子間相互作用と電子イオン間相互作用を無視すると、電子は周期的に格子中のイオンと衝突する閉じた箱の中で動くかのように見えます。このアイデアはドゥルーデによって提案され、彼はこれを用いて電気伝導度、熱伝導度など、金属の多くの特性を満足に説明しました。

ドゥルーデは、電子に対して単純な力学の式を適用していくつかの式を導き出し、オームの法則にも到達しました。通常、電子は主に熱エネルギーにより格子全体でランダムに運動しており、そのネット平均効果はゼロになります。しかし、電場が金属に加えられると、電子はその電荷による力によって各々に速度成分が重ね合わされます。

ニュートン力学に基づいて、以下のように書けます：

ここで、e = 電子の電荷
E = V/mで表される適用された電場
m = 電子の質量
x = 運動方向の距離

方程式 (i) を積分します

ここで、A と C は定数です。

方程式 (ii) は電子の速度の方程式であり、C には速度の次元があり、これはフィールドが適用されていない初期段階での電子のランダム速度であるだけです。したがって、
ただし、以前に述べたように、このランダム速度は平均するとゼロになるため、電子の平均速度は以下のようになります：

上記の式は、E がオンになるまで速度が時間とともに無限に増加することを示していますが、これは不可能です。これに対する説明は、電子が格子内で自由に動くのではなく、格子構造中のイオンと衝突し、速度を失い、再び加速され、再度衝突し続けるというものです。

したがって、平均的な効果を見ると、2つの衝突間の平均時間が T であり、これは緩和時間または衝突時間と呼ばれ、T 時間内に電子が達成する平均速度はドリフト速度と呼ばれています。

単位体積あたりの電子数を n として、時間 dt の間に断面 A を通過する電荷量は以下の通りです：

したがって、流れる電流は以下の通りです：

そして、電流密度は以下の通りです：

方程式 (iv) からドリフト速度の値を方程式 (v) に入れると：

これは何も他ならずオームの法則そのものであり、ここで：

ここで、新しい用語として移動度を定義します。これは単位電場あたりのドリフト速度として定義されます：

その単位は