Teoria Wolnych Elektronów w Metalach

Metale tworzą unikalny rodzaj wiązania znanego jako wiązanie metaliczne i formują strukturę krystaliczną. Unikalność takiego rodzaju wiązania polega na tym, że w przeciwieństwie do wiązań jonowych i kowalencyjnych, gdzie elektrony są dzielone między dwoma atomami i pozostają lokalizowane, w wiązaniu metalicznym wiązanie powstaje między wszystkimi atomami w strukturze krystalicznej, a swobodne elektrony każdego atomu są współdzielone przez całą strukturę. Te swobodne elektrony poruszają się swobodnie w całej strukturze i dlatego nazywane są gazem elektronowym.
Ignorując interakcje elektron-elektron i elektron-jon, wydaje się, że elektrony poruszają się w zamkniętej skrzyni z okresowymi zderzeniami z jonami w strukturze. Ta idea została zaproponowana przez Drude'a, który użył jej do zadowalającego wyjaśnienia wielu właściwości metali, takich jak przewodnictwo elektryczne, przewodnictwo ciepła itp.

Drude zastosował równania prostej mechaniki do elektronów, aby wyprowadzić kilka wyrażeń i również dotrzeć do Prawa Ohma. Normalnie elektrony są w losowym ruchu w całej strukturze, co jest głównie wynikiem energii termicznej, a netto efekt średni wynosi zero. Jednak gdy pole elektryczne jest zastosowane do metalu, dodatkowy składnik prędkości jest nałożony na każdy elektron ze względu na siłę działającą na niego dzięki jego ładunkowi.

Zgodnie z mechaniką newtonowską możemy zapisać-

Gdzie, e= ładunek elektronu,
E = zastosowane pole elektryczne w V/m
m = masa elektronu
x = odległość w kierunku ruchu.

Całkując równanie (i)

Gdzie, A i C to stałe.

Równanie (ii) to równanie prędkości elektronów, więc C ma wymiar prędkości i może być tylko losową prędkością elektronu, którą miał on na początku, gdy nie było zastosowane żadne pole. Zatem,
Jednak, jak wcześniej omawialiśmy, ta losowa prędkość uśrednia się do zera, więc średnia prędkość elektronów może być zapisana jako-

Powyższe równanie wskazuje, że prędkość ciągle rośnie bez końca z czasem, dopóki E jest włączona, jednak to jest niemożliwe. Wyjaśnienie tego polega na stwierdzeniu, że elektrony nie poruszają się swobodnie w strukturze, raczej zderzają się z jonami obecnymi w strukturze krystalicznej, tracą swoją prędkość, ponownie przyspieszają, znowu zderzają się i tak dalej.

Zatem biorąc pod uwagę średni efekt, zakładamy, że średnio czas między dwoma zderzeniami to T, znany jako czas relaksacji lub czas zderzenia, a średnia prędkość osiągnięta przez elektrony w ciągu T to znane jest jako prędkość dryfu.

Teraz, dla liczby elektronów na jednostkę objętości jako n, ilość ładunku przechodząca przez przekrój A w czasie dt będzie dana przez

Zatem płynący prąd będzie dany przez,

I zatem gęstość prądu będzie,

Podstawiając wartość prędkości dryfu z równań (iv) do (v),

Co nic innego jak Prawo Ohma, gdzie,

Teraz definiujemy nowy termin znan