Fritt elektronteori för metaller

Metaller bildar en unik typ av bindning känd som metallbindning och formar gitterstrukturen. Den unika egenskapen hos denna typ av bindningsfashion ligger i det faktum att, till skillnad från jonbindning och kovalent bindning där elektronernas delning sker mellan två atomer och elektronerna är lokaliserade, i metallbindning bildas bindningen mellan alla atomer i gitterstrukturen och de fria elektronerna från varje atom delas av hela gitterstrukturen. Dessa fria elektron rör sig fritt genom hela gitterstrukturen och därför kallas de för elektrongas.
När man bortser från elektron-elektroninteraktion och elektron-ioninteraktion verkar det som om elektronerna rör sig i en begränsad låda med periodiska kollisioner med ioner i gitterstrukturen. Detta idé gavs av Drude och han använde den för att tillfredsställande förklara många egenskaper hos metaller såsom elektrisk ledningsförmåga, termisk ledningsförmåga etc.

Drude applicerade ekvationer av enkel mekanik på elektronerna för att härleda flera uttryck och också komma fram till Ohms lag. Normalt sett är elektronerna i en slumpmässig rörelse genom hela gitterstrukturen, vilket primärt beror på termisk energi, och det totala genomsnittliga effekten blir noll. När emellertid elektriskt fält tillämpas på metallen, läggs en annan hastighetskomponent till på varje elektron på grund av den kraft som verkar på den på grund av dess laddning.

Enligt Newtons mekanik kan vi skriva-

Där, e = laddning på elektron,
E = tillämpat elektriskt fält i V/m
m = massa av elektron
x = avstånd i rörelsens riktning.

Integration av ekvation (i)

Där, A och C är konstanter.

Ekvation (ii) är ekvationen för elektronernas hastighet, därför har C dimension av hastighet, och kan bara vara den slumpmässiga hastigheten för elektronen som den hade vid den inledande stadiet när inget fält tillämpades. Därför,
Men, som vi diskuterade tidigare, jämnar denna slumpmässiga hastighet ut till noll, så den genomsnittliga hastigheten för elektronerna kan skrivas som-

Ovanstående ekvation indikerar att hastigheten fortsätter att öka oändligt med tiden tills E sätts på, men detta är inte möjligt. Förklaringen till detta ges genom att säga att elektronerna inte rör sig fritt i gitterstrukturen, snarare kolliderar de med ionerna i gitterstrukturen, förlorar sin hastighet och får igen acceleration och kolliderar igen osv.

Så, genom att se på den genomsnittliga effekten antar vi att i genomsnitt är tiden mellan två kollisioner T, känd som relaxations- eller kollisionstid, och den genomsnittliga hastighet som elektronerna uppnår under T-tidsperioden kallas drifthastighet.

Nu, för antalet elektron per enhetsvolym som n, mängden laddning som passerar genom ett korssnitt A under tiden dt kommer att ges av

Så strömmen som flyter kommer att ges av,

Och därför kommer strömtätheten att vara,

Genom att sätta värdet av drifthastighet från ekvationer (iv) i (v),

Vilket är inget annat än Ohms lag självt, där,

Nu definierar vi ett nytt begrepp kallat mobilitet, definierat som drifthastighet per enhet elektriskt fält,

Dess enhet är