금속의 자유 전자 이론

금속은 금속 결합이라는 고유한 유형의 결합을 형성하고 격자 구조를 만듭니다. 이러한 유형의 결합 방식의 독특함은 이온 결합과 공유 결합에서 전자가 두 원자 사이에서 공유되고 전자가 국소화되는 것과 달리, 금속 결합에서는 격자의 모든 원자 사이에서 결합이 형성되고 각 원자의 자유 전자가 전체 격자에 의해 공유된다는 점에 있습니다. 이러한 자유 전자는 격자를 통해 자유롭게 이동하므로 전자 가스라고 합니다.
전자-전자 상호작용과 전자-이온 상호작용을 무시하면, 전자들이 격자 내 이온과 주기적으로 충돌하는 한정된 상자 안에서 움직이는 것처럼 보입니다. 이 아이디어는 드루데(Drude)가 제시했으며, 그는 이를 통해 금속의 많은 특성을 설명했습니다. 예를 들어 전기 전도성, 열 전도성 등입니다.

드루데는 전자에게 간단한 역학의 방정식을 적용하여 여러 식을 도출하고 오옴의 법칙에 도달하였습니다. 일반적으로 전자들은 열 에너지로 인해 격자를 통해 임의로 움직이며, 그 순수 평균 효과는 0이 됩니다. 그러나 전기장이 금속에 가해질 때, 각 전자에는 전하에 의한 힘으로 인해 추가적인 속도 성분이 중첩됩니다.

뉴턴 역학에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다-

여기서, e = 전자의 전하,
E = V/m 단위의 가해진 전기장
m = 전자의 질량
x = 운동 방향의 거리.

방정식 (i)를 적분하면

여기서, A와 C는 상수입니다.

방정식 (ii)는 전자의 속도 방정식이므로, C는 속도 차원을 가지며, 이는 전기가 가해지지 않았을 때 초기 단계에서 전자가 가졌던 임의의 속도일 수밖에 없습니다. 따라서,
그러나 앞서 논의했듯이 이 임의의 속도는 평균적으로 0이 되므로, 전자의 평균 속도는 다음과 같이 쓸 수 있습니다-

위 방정식은 E가 켜져 있는 동안 시간이 지남에 따라 속도가 무한히 증가한다는 것을 나타냅니다. 그러나 이것은 불가능합니다. 이에 대한 설명은 전자들이 격자 내에서 자유롭게 움직이지 않고, 격자 구조 내의 이온과 충돌하여 속도를 잃고 다시 가속되며, 다시 충돌하는 등의 과정을 거친다는 것입니다.

따라서 평균 효과를 보면, 우리는 평균적으로 두 충돌 사이의 시간이 T라고 생각하며, 이는 이완 시간 또는 충돌 시간이라고 알려져 있으며, T 시간 동안 전자가 얻는 평균 속도는 드립 속도라고 합니다.

단위 부피당 전자의 수가 n인 경우, dt 시간 동안 크기 A의 단면을 통과하는 전하량은 다음과 같습니다

따라서 흐르는 전류는 다음과 같이 주어집니다,

따라서 전류 밀도는 다음과 같습니다,

방정식 (iv)의 드립 속도 값을 (v)에 대입하면,

이는 오옴의 법칙 자체입니다. 여기서,

이제 우리는 새로운 용어인 이동도를 정의합니다. 이는 단위 전기장 당 드립 속도로 정의됩니다,

그 단위는