Teoría del Electrón Libre en Metales

Los metales forman un tipo único de enlace conocido como enlace metálico y forman la estructura reticular. La singularidad de este tipo de enlace radica en el hecho de que, a diferencia del enlace iónico y covalente, donde el intercambio de electrones se produce entre dos átomos y los electrones permanecen localizados, en el enlace metálico el enlace se forma entre todos los átomos en la red y los electrones libres de cada átomo son compartidos por toda la red. Estos electrones libres se mueven libremente a través de la red y, por lo tanto, se denominan gas de electrones.
Ignorando la interacción electrón-electrón y la interacción electrón-ión, parece que los electrones se mueven en una caja confinada con colisiones periódicas con iones en la red. Esta idea fue propuesta por Drude y la utilizó para explicar satisfactoriamente muchas propiedades de los metales, como la conductividad eléctrica, la conductividad térmica, etc.

Drude aplicó ecuaciones de mecánica simple a los electrones para derivar varias expresiones y también llegar a la Ley de Ohm. Normalmente, los electrones están en movimiento aleatorio a lo largo de la red, principalmente debido a la energía térmica, y el efecto neto promedio resulta ser cero. Sin embargo, cuando se aplica un campo eléctrico al metal, se superpone otro componente de velocidad a cada electrón debido a la fuerza que actúa sobre él por su carga.

Según la mecánica newtoniana, podemos escribir-

Donde, e = carga del electrón,
E = campo eléctrico aplicado en V/m
m = masa del electrón
x = distancia en la dirección del movimiento.

Integrando la ecuación (i)

Donde, A y C son constantes.

La ecuación (ii) es la ecuación de la velocidad de los electrones, por lo tanto, C tiene la dimensión de velocidad, y solo puede ser la velocidad aleatoria del electrón que tenía en la etapa inicial cuando no se aplicaba ningún campo. Por lo tanto,
Sin embargo, como discutimos anteriormente, esta velocidad aleatoria se promedia a cero, por lo que la velocidad promedio de los electrones se puede escribir como-

La ecuación anterior indica que la velocidad sigue aumentando indefinidamente con el tiempo hasta que E se enciende, sin embargo, esto no es posible. La explicación a esto se da diciendo que los electrones no se mueven libremente en la red, sino que chocan con los iones presentes en la estructura reticular, pierden su velocidad y se aceleran nuevamente, y vuelven a chocar, y así sucesivamente.

Por lo tanto, considerando el efecto promedio, asumimos que, en promedio, el tiempo entre dos colisiones es T, conocido como el tiempo de relajación o tiempo de colisión, y la velocidad promedio alcanzada por los electrones en el período de tiempo T se conoce como velocidad de deriva.

Ahora, para el número de electrones por unidad de volumen n, la cantidad de carga que pasa a través de una sección transversal A en el tiempo dt estará dada por

Por lo tanto, la corriente que fluye estará dada por,

Y, por lo tanto, la densidad de corriente será,

Sustituyendo el valor de la velocidad de deriva de las ecuaciones (iv) en (v),

Lo cual no es más que la Ley de Ohm misma, donde,

Aquí definimos un nuevo término conocido como movilidad, definida como la velocidad de deriva por unidad de campo eléctrico,

Su unidad es