Szabad elektron elmélete a fémeknek

A fémtípusok egyedi kötési módját nevezik fémkötésként, amely rácstörténetet formál. Ez a kötési mód egyedülálló abban, hogy ellentétben az ion- és kovalens kötésekkel, ahol az elektronok két atom között osztottak meg és helyi jellegűek, a fémkötés esetén a kötés a rácstörténet összes atomja között alakul, és minden atom elektromosan szabad elektront ad hozzá a teljes rácshoz. Ezek a szabad elektronok szabadon mozognak a rácson belül, ezért őket elektron gáznak nevezik.
Az elektron-elektron interakció és az elektron-ion interakció figyelmen kívül hagyásával úgy tűnik, mintha az elektronok korlátos dobozban mozognának, időnként ütközik a rácstörében lévő iónokkal. Ezt az ötletet Drude adta, és ezt használta fel, hogy elégedően magyarázza a fémek sok tulajdonságát, mint például az elektromos vezetékenység, hővezetékenység stb.

Drude egyszerű mechanika egyenleteit alkalmazta az elektronokra, hogy számos kifejezést levezesse, és eljutott a Ohm-törvényhez. Általában az elektronok véletlenszerű mozgást végeznek a rácson, ami elsősorban a hőenergiának köszönhető, és a nettó átlagos hatás nulla. Azonban, amikor elektromos mezőt alkalmaznak a fémre, akkor a töltés miatt fellépő erő miatt minden elektronra egy további sebességi komponens kerül rá.

A newtoni mechanika szerint írhatjuk:

Ahol, e = elektron töltése,
E = alkalmazott elektromos mező V/m-ben
m = elektron tömege
x = távolság a mozgás irányában.

Az (i) egyenlet integrálása:

Ahol, A és C állandók.

Az (ii) egyenlet az elektronok sebességének egyenlete, tehát C sebesség dimenziójú, és csak a véletlenszerű sebesség lehet, amit az elektronok a kezdeti szakaszban, amikor nincs mező, birtokoltak. Tehát,
Ahogyan korábban említettük, ez a véletlenszerű sebesség átlagosan nulla, tehát az elektronok átlagos sebességét a következőképpen írhatjuk fel:

A fenti egyenlet azt mutatja, hogy a sebesség ideiglenesen növekszik, amíg be van kapcsolva az E, de ez nem lehetséges. Erre a magyarázat, hogy az elektronok nem szabadon mozognak a rácson, hanem ütközik a rácstörében lévő iónokkal, elveszítik sebességüket, újra gyorsulnak, és ismét ütköznek, stb.

Tehát, a számtani átlagot tekintve, feltételezünk, hogy az ütközések közötti átlagos idő T, amit nyugalombecslésnek vagy ütközési időnek nevezünk, és az elektronok által T idő alatt elérhető átlagos sebesség a drifteles sebesség.

Most, ha az egység térfogatonkénti elektronok száma n, a dt idő alatt egy A területen áthaladó töltés a következőképpen lesz meghatározva:

Tehát a folyamatos áram a következőképpen lesz meghatározva:

Tehát az áram sűrűség a következőképpen lesz meghatározva:

Az (iv) egyenletből származó drifteles sebesség értékének behelyettesítése (v)-be:

Ez pedig más sem, mint a Ohm-törvény, ahol,

Most definiálunk egy új fogalmat, a mobilitást, amit a drifteles sebesség és az elektromos mező egységeként definiálunk,