Θεωρία των Ελεύθερων Ηλεκτρονίων στα Μέταλλα

Τα μέταλλα δημιουργούν ένα μοναδικό τύπο δεσμού γνωστό ως μεταλλικός δεσμός και σχηματίζουν το πλέγμα. Το μοναδικό σε αυτόν τον τύπο δεσμού είναι το γεγονός ότι, σε αντίθεση με τον ιονικό και τον συνδετικό δεσμό, όπου η μοιρασιά των ηλεκτρονίων είναι μεταξύ δύο ατόμων και τα ηλεκτρόνια παραμένουν τοποθετημένα, στον μεταλλικό δεσμό ο δεσμός δημιουργείται μεταξύ όλων των ατόμων στο πλέγμα και τα ελεύθερα ηλεκτρόνια από κάθε άτομο μοιράζονται από όλο το πλέγμα. Αυτά τα ελεύθερα ηλεκτρόνια κινούνται ελεύθερα μέσα στο πλέγμα και, επομένως, ονομάζονται ηλεκτρονικό αέριο.
Αγνοώντας την αλληλεπίδραση ηλεκτρόνιο-ηλεκτρόνιο και ηλεκτρόνιο-ιόν, φαίνεται σαν να κινούνται τα ηλεκτρόνια σε ένα περιορισμένο κουτί με περιοδική σύγκρουση με τα ιόντα στο πλέγμα. Αυτή η ιδέα δόθηκε από τον Drude και την χρησιμοποίησε για να εξηγήσει πολλές ιδιότητες των μετάλλων, όπως την ηλεκτρική συνεκτικότητα, θερμική συνεκτικότητα κλπ.

Ο Drude εφάρμοσε εξισώσεις απλής μηχανικής στα ηλεκτρόνια για να προκύψουν πολλές εκφράσεις και επίσης να φθάσει στο Νόμο του Ohm. Συνήθως, τα ηλεκτρόνια είναι σε τυχαία κίνηση μέσα στο πλέγμα, το οποίο είναι κυρίως λόγω θερμικής ενέργειας, και η μέση αποτελεσματική επίδραση είναι μηδενική. Ωστόσο, όταν εφαρμόζεται ηλεκτρικό πεδίο στο μέταλλο, ένας άλλος συνιστώσας ταχύτητας επιβάλλεται σε κάθε ηλεκτρόνιο λόγω της δύναμης που ενεργεί σε αυτό λόγω της φορτία του.

Σύμφωνα με την Newtonian μηχανική μπορούμε να γράψουμε-

όπου, e= φορτίο του ηλεκτρονίου,
E = εφαρμοσμένο ηλεκτρικό πεδίο σε V/m
m = μάζα του ηλεκτρονίου
x = απόσταση στην κατεύθυνση της κίνησης.

Ολοκληρώνοντας την εξίσωση (i)

όπου, A και C είναι σταθερές.

Η εξίσωση (ii) είναι η εξίσωση της ταχύτητας των ηλεκτρονίων, επομένως η C έχει διάσταση ταχύτητας, και μπορεί να είναι μόνο τυχαία ταχύτητα ηλεκτρονίου, την οποία είχε στην αρχική φάση όταν δεν εφαρμόζονταν πεδία. Επομένως,
Ωστόσο, όπως συζητήσαμε προηγουμένως, αυτή η τυχαία ταχύτητα μέση ισοδυναμεί με μηδέν, έτσι η μέση ταχύτητα των ηλεκτρονίων μπορεί να γραφτεί ως-

Η παραπάνω εξίσωση δείχνει ότι η ταχύτητα συνεχίζει να αυξάνεται άπειρα με το χρόνο μέχρι να ανακλιθεί το E, ωστόσο αυτό δεν είναι δυνατό. Η εξήγηση γι' αυτό δίνεται λέγοντας ότι τα ηλεκτρόνια δεν κινούνται ελεύθερα στο πλέγμα, αλλά συγκρούονται με τα ιόντα που βρίσκονται στο πλέγμα, χάνουν την ταχύτητά τους και ξαναεπιταχύνονται και ξανασυγκρούονται και ούτω καθεξής.

Επομένως, βλέποντας τη μέση επίδραση, θεωρούμε ότι σε μέσο όρο ο χρόνος μεταξύ δύο συγκρούσεων είναι T, γνωστός ως χρόνος ηρεμίας ή χρόνος σύγκρουσης, και η μέση ταχύτητα που επιτευχθεί από τα ηλεκτρόνια σε T χρόνο ονομάζεται διαταραγμένη ταχύτητα.

Τώρα, για αριθμό ηλεκτρονίων ανά μονάδα όγκου ως n, η ποσότητα φορτίου που περνά από ένα τμήμα A σε χρόνο dt θα δοθεί από

Επομένως, ο ρεύστης που ρέει θα δοθεί από,

Και, επομένως, η πυκνότητα ρεύστη θα είναι,

Βάζοντας την τιμή της διαταραγμένης ταχύτητας από τις εξισώσεις (iv) στη (v),

Το οποίο είναι τίποτα άλλο από τον