मुक्त इलेक्ट्रॉन सिद्धांत धातुओं का

धातुएं एक विशेष प्रकार की बंधन जिसे धात्विक बंधन कहा जाता है, और ग्रेटिंग संरचना बनाती हैं। इस प्रकार के बंधन में विशेषता यह है कि आयनिक बंधन और सहसंयोजी बंधन में, जहाँ इलेक्ट्रॉनों का साझा करना दो परमाणुओं के बीच होता है और इलेक्ट्रॉन स्थानिक रहते हैं, धात्विक बंधन में ग्रेटिंग के सभी परमाणुओं के बीच बंधन बनता है और प्रत्येक परमाणु से आने वाले स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन ग्रेटिंग के पूरे द्वारा साझा किए जाते हैं। ये स्वतंत्र इलेक्ट्रॉन ग्रेटिंग में स्वतंत्र रूप से घूमते हैं और इसलिए इन्हें इलेक्ट्रॉन गैस कहा जाता है।
इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन अंतरक्रिया और इलेक्ट्रॉन-आयन अंतरक्रिया को नज़रअंदाज करते हुए, ऐसा लगता है कि इलेक्ट्रॉन एक सीमित बॉक्स में चलते हैं जिसमें ग्रेटिंग के आयनों के साथ आवर्ती टकराव होता है। यह विचार ड्रुड द्वारा दिया गया था और उन्होंने इसका उपयोग धातुओं की कई विशेषताओं जैसे विद्युत चालकता, तापीय चालकता आदि को संतोषजनक रूप से समझाने के लिए किया।

ड्रुड ने इलेक्ट्रॉनों पर सरल यांत्रिक समीकरणों को लागू किया और कई व्यंजकों को निकाला और ओम का नियम भी प्राप्त किया। आमतौर पर इलेक्ट्रॉन ग्रेटिंग में यादृच्छिक गति से घूमते हैं, जो मुख्य रूप से ऊष्मीय ऊर्जा के कारण होता है, और नेट औसत प्रभाव शून्य होता है। हालांकि जब विद्युत क्षेत्र धातु पर लगाया जाता है, तो प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर इसके आवेश के कारण लगने वाले बल के कारण गति का एक अन्य घटक अधिकित हो जाता है।

न्यूटनियन यांत्रिकी के अनुसार हम लिख सकते हैं-

जहाँ, e = इलेक्ट्रॉन पर आवेश,
E = लगाया गया विद्युत क्षेत्र (V/m)
m = इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान
x = गति की दिशा में दूरी।

समीकरण (i) का समाकलन

जहाँ, A और C नियतांक हैं।

समीकरण (ii) इलेक्ट्रॉनों की गति का समीकरण है, इसलिए C गति के विमीय है, और यह केवल इलेक्ट्रॉन की यादृच्छिक गति हो सकती है जो उसकी प्रारंभिक स्थिति में थी जब कोई क्षेत्र लगाया नहीं गया था। इसलिए,
हालांकि, जैसा कि हमने पहले चर्चा की थी, यह यादृच्छिक गति शून्य की औसत होती है, इसलिए इलेक्ट्रॉनों की औसत गति निम्नलिखित रूप से लिखी जा सकती है-

उपरोक्त समीकरण इंगित करता है कि गति समय के साथ अनिश्चित रूप से बढ़ती रहती है जब तक E चालू नहीं होता, हालांकि यह संभव नहीं है। इसका विश्लेषण यह कहकर दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन ग्रेटिंग में स्वतंत्र रूप से नहीं घूमते, बल्कि वे ग्रेटिंग संरचना में मौजूद आयनों से टकराते हैं, और अपनी गति खो देते हैं और फिर तेजी से चलना शुरू करते हैं और फिर टकराते हैं और इसी तरह चलता रहता है।

इसलिए औसत प्रभाव देखते हुए, हम यह मानते हैं कि दो टकरावों के बीच का औसत समय T है, जिसे टकराव समय या विश्राम समय कहा जाता है और T समय अवधि में इलेक्ट्रॉनों द्वारा प्राप्त औसत गति को ड्रिफ्ट वेलोसिटी कहा जाता है।

अब, इकाई आयतन पर इलेक्ट्रॉनों की संख्या n के लिए, समय dt में एक क्रॉस-सेक्शन A के माध्यम से गुजरने वाली आवेश की मात्रा निम्नलिखित द्वारा दी जाएगी

इसलिए प्रवाहित होने वाली धारा निम्नलिखित द्वारा दी जाएगी,

और इसलिए धारा घनत्व निम्नलिखित द्वारा दिया जाएगा,

समीकरण (iv) से ड्रिफ्ट वेलोसिटी का मान (v) में रखने पर,

जो कुछ भी नहीं, बल्कि