Теорія вільних електронів у металах

Метали утворюють унікальний тип зв'язку, відомий як металевий зв'язок, і формують решітчасту структуру. Унікальність такого типу зв'язку полягає в тому, що, на відміну від іонного та ковалентного зв'язку, де обмін електронами відбувається між двома атомами, а електрони залишаються локалізованими, в металевому зв'язку зв'язок утворюється між всіма атомами в решітці, і вільні електрони кожного атома розподіляються по всій решітці. Ці вільні електрони вільно рухаються по всій решітці, тому їх називають електронним газом.
Знехтувавши взаємодією електрон-електрон та електрон-іон, можна сказати, що електрони рухаються в обмеженому боксі з періодичними зіткненнями з іонами в решітці. Цю ідею запропонував Друде, і він використав її для задовільного пояснення багатьох властивостей металів, таких як електрична провідність, теплопровідність тощо.

Друде застосував рівняння простої механіки до електронів, щоб отримати ряд виразів, а також прийти до закону Ома. Зазвичай електрони випадково рухаються по всій решітці, що в основному спричинено термічною енергією, і загальний середній ефект виявляється нульовим. Однак, коли електричне поле застосовується до металу, додаткова компонента швидкості надається кожному електрону завдяки силі, що діє на нього через його заряд.

Відповідно до механіки Ньютона, ми можемо записати-

Де, e = заряд електрона,
E = застосоване електричне поле у В/м
m = маса електрона
x = відстань у напрямку руху.

Інтегрування рівняння (i)

Де, A і C - це константи.

Рівняння (ii) - це рівняння швидкості електронів, тому C має розмірність швидкості і може бути лише випадковою швидкістю електрона, яку він мав на початковому етапі, коли не було застосовано поле. Тому,
Однак, як ми обговорювали раніше, ця випадкова швидкість в середньому дорівнює нулю, тому середня швидкість електронів може бути записана як-

Це рівняння вказує, що швидкість безперервно збільшується з часом, поки E не буде вимкнено, однак це неможливо. Пояснення цього полягає в тому, що електрони не рухаються вільно в решітці, а зіткдаються з іонами, присутніми в решітчастій структурі, втрачають свою швидкість, знову прискорюються, знову зіткдаються і так далі.

Тому, враховуючи середній ефект, ми вважаємо, що в середньому час між двома зіткненнями становить T, відомий як час релаксації або час зіткнення, а середня швидкість, досягнута електронами за T, відома як дріфтова швидкість.

Тепер, для кількості електронів на одиницю об'єму n, кількість заряду, що проходить через поперечний переріз A за час dt, буде даною

Тому потік, що протікає, буде заданий формулою,

А отже, густина потоку буде,

Підставляючи значення дріфтової швидкості з рівнянь (iv) в (v),

Що є просто законом Ома, де,

Тепер ми визначаємо новий термін, відомий як подвижність, визначена як дріфтова швидкість на одиницю електричного поля,