Datos Digitales del Sistema de Control
Definición de Datos Digitales
Los datos digitales en los sistemas de control consisten en datos discretos o muestreados que representan señales continuas en un formato digital.
Proceso de Muestreo
El muestreo es la conversión de señales analógicas a señales digitales utilizando un muestreador, que se enciende y apaga.
El proceso de muestreo convierte las señales analógicas en señales digitales utilizando un conmutador, llamado muestreador, que se enciende y apaga. Para un muestreador ideal, el ancho del pulso de salida es muy pequeño (casi cero). En los sistemas discretos, las transformaciones Z desempeñan un papel crucial, similar a la transformada de Fourier en los sistemas continuos. Exploraremos en detalle las transformaciones Z y sus usos.
Definimos la transformada Z como
Donde, F(k) es un dato discreto
Z es un número complejo
F(Z) es la transformada de Fourier de f(k).
A continuación se escriben las propiedades importantes de la transformación Z
Linealidad
Consideremos la suma de dos funciones discretas f(k) y g(k) tal que
donde p y q son constantes, ahora al tomar la transformada de Laplace tenemos por propiedad de linealidad:
Cambio de Escala: consideremos una función f(k), al tomar la transformada Z tenemos
entonces tenemos por la propiedad de cambio de escala
Propiedad de Desplazamiento: Según esta propiedad
Ahora discutamos algunas transformadas Z importantes y sugiero a los lectores aprender estas transformadas:
La transformada de Laplace de esta función es 1/s² y la correspondiente f(k) = kT. Ahora la transformada Z de esta función es
La transformada de Laplace de esta función es 2/s³ y la correspondiente f(k) = kT. Ahora la transformada Z de esta función es
La transformada de Laplace de esta función es 1/(s + a) y la correspondiente f(k) = e^(-akT)
Ahora la transformada Z de esta función es
La transformada de Laplace de esta función es 1/(s + a)² y la correspondiente f(k) = Te^(-akT). Ahora la transformada Z de esta función es
La transformada de Laplace de esta función es a/(s² + a²) y la correspondiente f(k) = sin(akT). Ahora la transformada Z de esta función es
La transformada de Laplace de esta función es s/(s² + a²) y la correspondiente f(k) = cos(akT). Ahora la transformada Z de esta función es
A veces, es necesario volver a muestrear los datos, lo que significa convertir los datos discretos en forma continua. Podemos convertir los datos digitales del sistema de control en forma continua mediante circuitos de retención, que se discuten a continuación:
Circuitos de Retención: Estos son los circuitos que convierten datos discretos en datos continuos o originales. Hay dos tipos de circuitos de retención y se explican en detalle:
Circuito de Retención de Orden Cero
La representación en diagrama de bloques del circuito de retención de orden cero se muestra a continuación:
Figura relacionada con la retención de orden cero.
En el diagrama de bloques, hemos dado una entrada f(t) al circuito, cuando permitimos que la señal de entrada pase a través de este circuito, vuelve a convertirla en una señal continua. La salida del circuito de retención de orden cero se muestra a continuación. Ahora estamos interesados en encontrar la función de transferencia del circuito de retención de orden cero. Al escribir la ecuación de salida, tenemosAl tomar la transformada de Laplace de la ecuación anterior, obtenemos
De la ecuación anterior, podemos calcular la función de transferencia como
Al sustituir s=jω, podemos dibujar el diagrama de Bode para el circuito de retención de orden cero. La representación eléctrica del circuito de retención de orden cero se muestra a continuación, que consta de un muestreador conectado en serie con un resistor y esta combinación está conectada en paralelo con una combinación de resistor y capacitor.
GRÁFICO DE GANANCIA – curva de respuesta en frecuencia del ZOH
GRÁFICO DE FASE – curva de respuesta en frecuencia del ZOH
Circuito de Retención de Primer Orden
La representación en diagrama de bloques del circuito de retención de primer orden se muestra a continuación:
Circuito de Retención de Primer Orden
En el diagrama de bloques, hemos dado una entrada f(t) al circuito, cuando permitimos que la señal de entrada pase a través de este circuito, vuelve a convertirla en una señal continua. La salida del circuito de retención de primer orden se muestra a continuación: Ahora estamos interesados en encontrar la función de transferencia del circuito de retención de primer orden. Al escribir la ecuación de salida, tenemos
Al tomar la transformada de Laplace de la ecuación anterior, obtenemos
De la ecuación anterior, podemos calcular la función de transferencia como (1-e^(-sT))/s. Al sustituir s=jω, podemos dibujar el diagrama de Bode para el circuito de retención de orden cero.
El diagrama de Bode para el circuito de retención de primer orden se muestra a continuación, que consta de un gráfico de magnitud y un gráfico de ángulo de fase. El gráfico de magnitud comienza con un valor de magnitud 2π/ωs.
