制御システムのデジタルデータ

デジタルデータの定義

制御システムにおけるデジタルデータは、連続信号をデジタル形式で表現する離散的またはサンプリングされたデータで構成されています。

サンプリングプロセス

サンプリングは、ONとOFFを切り替えるサンプラーを使用してアナログ信号をデジタル信号に変換するプロセスです。

サンプリングプロセスでは、スイッチ（サンプラー）を使用してアナログ信号をデジタル信号に変換します。理想的なサンプラーの場合、出力パルス幅は非常に小さい（ほぼゼロ）です。離散システムでは、Z変換が重要な役割を果たし、連続システムにおけるフーリエ変換と同様です。ここでは、Z変換とその使用法について詳しく説明します。

Z変換を次のように定義します

ここで、F(k)は離散データ

Zは複素数

F (z)はf (k)のフーリエ変換です。

Z変換の重要な性質は以下の通りです

線形性

2つの離散関数f (k)とg (k)の和を考えます

ここでpとqは定数であり、ラプラス変換を取ると線形性の性質により:

スケールの変更：関数f(k)を考え、Z変換を取ると

スケール変更の性質により

シフト性質：この性質によれば

以下にいくつか重要なZ変換を示します。読者はこれらの変換を学ぶことをお勧めします。

この関数のラプラス変換は1/s^2であり、対応するf(k) = kTです。この関数のZ変換は

この関数のラプラス変換は2/s^3であり、対応するf(k) = kTです。この関数のZ変換は

この関数のラプラス変換は1/(s + a)であり、対応するf(k) = e^(-akT)

この関数のZ変換は

この関数のラプラス変換は1/(s + a)^2であり、対応するf(k) = Te^(-akT)です。この関数のZ変換は

この関数のラプラス変換はa/(s^2 + a^2)であり、対応するf(k) = sin(akT)です。この関数のZ変換は

この関数のラプラス変換はs/(s^2 + a^2)であり、対応するf(k) = cos(akT)です。この関数のZ変換は

時折、再度データをサンプリングする必要があり、これは離散データを連続形式に変換することを意味します。ホールド回路を使用して制御システムのデジタルデータを連続形式に変換することができます。以下で詳細に説明します。

ホールド回路：これらは離散データを連続データまたは元のデータに変換する回路です。ホールド回路には2種類あり、それぞれ詳細に説明します。

ゼロオーダーホールド回路

ゼロオーダーホールド回路のブロック図は以下の通りです。

ゼロオーダーホールドに関する図。

ブロック図では、入力f(t)を回路に与えています。この回路を通すと、入力信号は連続信号に再変換されます。ゼロオーダーホールド回路の出力は以下の通りです。現在、ゼロオーダーホールド回路の伝達関数を求めることに興味があります。出力方程式を書くと上記方程式のラプラス変換を取ると

上記方程式から伝達関数を求めることができます。

s=jωを代入すると、ゼロオーダーホールド回路のボード線図を描くことができます。ゼロオーダーホールド回路の電気的な表現は以下の通りで、サンプラと抵抗が直列に接続され、この組み合わせが抵抗とコンデンサの並列組み合わせと接続されています。

ゲインプロット - ZOHの周波数応答曲線

位相プロット - ZOHの周波数応答曲線

ファーストオーダーホールド回路

ファーストオーダーホールド回路のブロック図は以下の通りです。

ファーストオーダーホールド回路

ブロック図では、入力f(t)を回路に与えています。この回路を通すと、入力信号は連続信号に再変換されます。ファーストオーダーホールド回路の出力は以下の通りです。現在、ファーストオーダーホールド回路の伝達関数を求めることに興味があります。出力方程式を書くと

上記方程式のラプラス変換を取ると

上記方程式から伝達関数を求めることができます。(1-e^-sT)/s。s=jωを代入すると、ゼロオーダーホールド回路のボード線図を描くことができます。

ファーストオーダーホールド回路のボード線図は以下の通りで、振幅プロットと位相角プロットで構成されています。振幅プロットは2π/ωsの値から始まります。