Dades digitals del sistema de control
Definició de Dades Digitals
Les dades digitals en els sistemes de control consisteixen en dades discretes o mostrejades que representen senyals contínus en un format digital.
Procés de Mostreig
El mostreig és la conversió de senyals analògics a senyals digitals utilitzant un mostrejador, que s'activa i desactiva.
El procés de mostreig converteix els senyals analògics en senyals digitals utilitzant un interruptor, anomenat mostrejador, que s'activa i desactiva. Per a un mostrejador ideal, l'amplada del pols de sortida és molt petita (gairebé zero). En els sistemes discrets, les transformacions Z tenen un paper crucial, similar a la transformació de Fourier en els sistemes contínus. Explorem les transformacions Z i els seus usos amb detall.
Definim la transformació Z com
On F(k) és una dada discreta
Z és un nombre complex
F(Z) és la transformació de Fourier de f(k).
Propietats importants de la transformació Z es presenten a continuació
Linealitat
Considerem la suma de dues funcions discretes f(k) i g(k) tal que
on p i q són constants, ara prenent la transformada de Laplace tenim per la propietat de linealitat:
Canvi d'Escala: considerem una funció f(k), prenent la transformada Z tenim
llavors tenim per la propietat de canvi d'escala
Propietat de Desplaçament: Segons aquesta propietat
Ara discutim algunes transformacions Z importants i suggeriré als lectors que aprendin aquestes transformacions:
La transformada de Laplace d'aquesta funció és 1/s² i la corresponent f(k) = kT. Ara la transformada Z d'aquesta funció és
La transformada de Laplace d'aquesta funció és 2/s³ i la corresponent f(k) = kT. Ara la transformada Z d'aquesta funció és
La transformada de Laplace d'aquesta funció és 1/(s + a) i la corresponent f(k) = e^(-akT)
Ara la transformada Z d'aquesta funció és
La transformada de Laplace d'aquesta funció és 1/(s + a)² i la corresponent f(k) = Te^(-akT). Ara la transformada Z d'aquesta funció és
La transformada de Laplace d'aquesta funció és a/(s² + a²) i la corresponent f(k) = sin(akT). Ara la transformada Z d'aquesta funció és
La transformada de Laplace d'aquesta funció és s/(s² + a²) i la corresponent f(k) = cos(akT). Ara la transformada Z d'aquesta funció és
A vegades hi ha la necessitat de tornar a mostrejar les dades, és a dir, convertir les dades discretes en forma contínua. Podem convertir les dades digitals del sistema de control en forma contínua mitjançant circuits de retenció, que es discuteixen a continuació:
Circuits de Retenció: Són els circuits que converteixen les dades discretes en dades contínues o originals. Hi ha dos tipus de circuits de retenció i s'expliquen amb detall:
Circuit de Retenció d'Ordre Zero
La representació en diagrama de blocs del circuit de retenció d'ordre zero es presenta a continuació:
Figura relativa al circuit de retenció d'ordre zero.
En el diagrama de blocs hem donat una entrada f(t) al circuit, quan permetem que el senyal d'entrada passi a través d'aquest circuit, aquest reconverteix el senyal d'entrada en un senyal contínu. La sortida del circuit de retenció d'ordre zero es mostra a continuació. Ara estem interessats en trobar la funció de transferència del circuit de retenció d'ordre zero. Escribint l'equació de sortida tenimPrenent la transformada de Laplace de l'equació anterior tenim
De l'equació anterior podem calcular la funció de transferència com
Substituint s=jω podem dibuixar el gràfic de Bode per al circuit de retenció d'ordre zero. La representació elèctrica del circuit de retenció d'ordre zero es mostra a continuació, que consta d'un mostrejador connectat en sèrie amb un resistor i aquesta combinació està connectada amb una combinació paral·lela de resistor i capacitor.
GRÀFIC DE GAIN – corba de resposta en freqüència del ZOH
GRÀFIC DE FASE – corba de resposta en freqüència del ZOH
Circuit de Retenció d'Ordre Un
La representació en diagrama de blocs del circuit de retenció d'ordre un es presenta a continuació:
Circuit de Retenció d'Ordre Un
En el diagrama de blocs hem donat una entrada f(t) al circuit, quan permetem que el senyal d'entrada passi a través d'aquest circuit, aquest reconverteix el senyal d'entrada en un senyal contínu. La sortida del circuit de retenció d'ordre un es mostra a continuació: Ara estem interessats en trobar la funció de transferència del circuit de retenció d'ordre un. Escribint l'equació de sortida tenim
Prenent la transformada de Laplace de l'equació anterior tenim
De l'equació anterior podem calcular la funció de transferència com (1-e^(-sT))/s. Substituint s=jω podem dibuixar el gràfic de Bode per al circuit de retenció d'ordre zero.
El gràfic de Bode per al circuit de retenció d'ordre un es mostra a continuació, que consta d'un gràfic de magnitud i un gràfic d'angle de fase. El gràfic de magnitud comença amb un valor de magnitud 2π/ωs.
