Ψηφιακά Δεδομένα Συστήματος Ελέγχου

Ψηφιακή Περιγραφή Δεδομένων

Τα ψηφιακά δεδομένα στα συστήματα ελέγχου αποτελούνται από διακριτά ή δειγματοληπτικά δεδομένα που αντιπροσωπεύουν συνεχή σήματα σε ψηφιακή μορφή.

Διαδικασία Δειγματοληψίας

Η δειγματοληψία είναι η μετατροπή αναλογικών σημάτων σε ψηφιακά σημάτια με τη χρήση ενός δειγματοληπτή, ο οποίος ενεργοποιείται και απενεργοποιείται.

Η διαδικασία δειγματοληψίας μετατρέπει τα αναλογικά σήματα σε ψηφιακά σήματα με τη χρήση ενός κλειδώματος, που ονομάζεται δειγματοληπτής, το οποίο ενεργοποιείται και απενεργοποιείται. Για έναν ιδανικό δειγματοληπτή, η πλάτος του εξόδου παλμού είναι πολύ μικρό (σχεδόν μηδέν). Στα διακριτά συστήματα, οι μετασχηματισμοί Z παίζουν κρίσιμο ρόλο, όπως και ο μετασχηματισμός Fourier στα συνεχή συστήματα. Ας εξερευνήσουμε λεπτομερώς τους μετασχηματισμούς Z και την χρήση τους.

Ορίζουμε τον μετασχηματισμό Z ως

Όπου, F(k) είναι διακριτά δεδομένα

Z είναι μια μιγαδική αριθμός

F(z) είναι ο μετασχηματισμός Fourier του f(k).

Σημαντικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Z είναι οι παρακάτω

Γραμμικότητα

Ας θεωρήσουμε την πρόσθεση δύο διακριτών συναρτήσεων f(k) και g(k) ώστε

όπου p και q είναι σταθερές, τώρα λαμβάνοντας τον μετασχηματισμό Laplace, έχουμε από την ιδιότητα της γραμμικότητας:

Αλλαγή Κλίμακας: ας θεωρήσουμε μια συνάρτηση f(k), λαμβάνοντας τον μετασχηματισμό Z έχουμε

τότε έχουμε από την ιδιότητα της αλλαγής κλίμακας

Ιδιότητα Μετατόπισης: Σύμφωνα με αυτή την ιδιότητα

Τώρα ας συζητήσουμε μερικούς σημαντικούς μετασχηματισμούς Z και θα προτείνω στους αναγνώστες να μάθουν αυτούς τους μετασχηματισμούς:

Ο μετασχηματισμός Laplace αυτής της συνάρτησης είναι 1/s^2 και η αντίστοιχη f(k) = kT. Τώρα ο μετασχηματισμός Z αυτής της συνάρτησης είναι

Ο μετασχηματισμός Laplace αυτής της συνάρτησης είναι 2/s^3 και η αντίστοιχη f(k) = kT. Τώρα ο μετασχηματισμός Z αυτής της συνάρτησης είναι

Ο μετασχηματισμός Laplace αυτής της συνάρτησης είναι 1/(s + a) και η αντίστοιχη f(k) = e^(-akT)

Τώρα ο μετασχηματισμός Z αυτής της συνάρτησης είναι

Ο μετασχηματισμός Laplace αυτής της συνάρτησης είναι 1/(s + a)^2 και η αντίστοιχη f(k) = Te^(-akT). Τώρα ο μετασχηματισμός Z αυτής της συνάρτησης είναι

Ο μετασχηματισμός Laplace αυτής της συνάρτησης είναι a/(s^2 + a^2) και η αντίστοιχη f(k) = sin(akT). Τώρα ο μετασχηματισμός Z αυτής της συνάρτησης είναι

Ο μετασχηματισμός Laplace αυτής της συνάρτησης είναι s/(s^2 + a^2) και η αντίστοιχη f(k) = cos(akT). Τώρα ο μετασχηματισμός Z αυτής της συνάρτησης είναι

Μερικές φορές υπάρχει η ανάγκη να δειγματοληφθούν εκ νέου τα δεδομένα, δηλαδή να μετατραπούν τα διακριτά δεδομένα σε συνεχή μορφή. Μπορούμε να μετατρέψουμε τα ψηφιακά δεδομένα του συστήματος ελέγχου σε συνεχή μορφή με τη χρήση κυκλωμάτων κράτησης, τα οποία συζητούνται παρακάτω:

Κυκλώματα Κράτησης: Είναι κυκλώματα που μετατρέπουν τα διακριτά δεδομένα σε συνεχή δεδομένα ή τα αρχικά δεδομένα. Υπάρχουν δύο τύποι κυκλωμάτων κράτησης, οι οποίοι εξηγούνται λεπτομερώς:

Κύκλωμα Κράτησης Πρώτης Τάξης

Η παράσταση με βλοκ διαγράμματος του κυκλώματος κράτησης πρώτης τάξης είναι η παρακάτω:

Σχήμα σχετικό με το κύκλωμα κράτησης πρώτης τάξης.

Στο βλοκ διάγραμμα δίνουμε ένα είσοδο f(t) στο κύκλωμα, όταν επιτρέπουμε το εισερχόμενο σήμα να διασχίσει αυτό το κύκλωμα, αυτό μετατρέπει το εισερχόμενο σήμα σε συνεχές. Το εξόδος του κυκλώματος κράτησης πρώτης τάξης είναι ο παρακάτω. Τώρα είμαστε ενδιαφέροντες να βρούμε τη μεταφορτώση του κυκλώματος κράτησης πρώτης τάξης. Στην εξίσωση εξόδου έχουμεΛαμβάνοντας τον μετασχηματισμό Laplace της παραπάνω εξίσωσης έχουμε

Από την παραπάνω εξίσωση μπορούμε να υπολογίσουμε τη μεταφορτώση ως (1-e^-sT)/s. Επικεντρώνοντας s=jω μπορούμε να σχεδιάσουμε το bode plot για το κύκλωμα κράτησης πρώτης τάξης.

Το bode plot για το κύκλωμα κράτησης πρώτης τάξης είναι το παρακάτω, το οποίο περιλαμβάνει ένα διάγραμμα μεγέθους και ένα διάγραμμα φάσης. Το διάγραμμα μεγέθους ξεκινά με την τιμή 2π/ωs.