داده‌های دیجیتال سیستم کنترل

تعریف داده‌های دیجیتال

داده‌های دیجیتال در سیستم‌های کنترل شامل داده‌های گسسته یا نمونه‌برداری شده است که نشان‌دهنده سیگنال‌های پیوسته به صورت دیجیتال می‌باشد.

فرآیند نمونه‌برداری

نمونه‌برداری تبدیل سیگنال‌های آنالوگ به سیگنال‌های دیجیتال با استفاده از یک نمونه‌بردار است که بین حالت‌های روشن و خاموش تغییر وضعیت می‌دهد.

فرآیند نمونه‌برداری سیگنال‌های آنالوگ را به سیگنال‌های دیجیتال تبدیل می‌کند با استفاده از یک سوئیچ که نمونه‌بردار نامیده می‌شود. برای یک نمونه‌بردار ایده‌آل، عرض پالس خروجی بسیار کوچک (تقریباً صفر) است. در سیستم‌های گسسته، تبدیلات Z نقش مهمی مشابه تبدیل فوریه در سیستم‌های پیوسته دارد. حال به بررسی دقیق تبدیلات Z و کاربردهای آن می‌پردازیم.

تبدیل Z را به صورت زیر تعریف می‌کنیم

که در آن F(k) داده گسسته است

Z یک عدد مختلط است

F(z) تبدیل فوریه f(k) است.

ویژگی‌های مهم تبدیل Z در زیر آمده است

خطی بودن

فرض کنید جمع دو تابع گسسته f(k) و g(k) به صورت زیر باشد

به طوری که p و q ثابت هستند، حال با در نظر گرفتن تبدیل لاپلاس خواهیم داشت با استفاده از ویژگی خطی بودن:

تغییر مقیاس: فرض کنید یک تابع f(k) داریم، با در نظر گرفتن تبدیل Z خواهیم داشت

بنابراین با استفاده از ویژگی تغییر مقیاس خواهیم داشت

ویژگی انتقال: بر اساس این ویژگی

حال به بررسی برخی از تبدیلات Z مهم می‌پردازیم و توصیه می‌کنم خوانندگان این تبدیلات را یاد بگیرند:

تبدیل لاپلاس این تابع ۱/s² است و تابع متناظر f(k) = kT. حال تبدیل Z این تابع به صورت زیر است

تبدیل لاپلاس این تابع ۲/s³ است و تابع متناظر f(k) = kT. حال تبدیل Z این تابع به صورت زیر است

تبدیل لاپلاس این تابع ۱/(s + a) است و تابع متناظر f(k) = e^(-akT)

حال تبدیل Z این تابع به صورت زیر است

تبدیل لاپلاس این تابع ۱/(s + a)² است و تابع متناظر f(k) = Te^(-akT). حال تبدیل Z این تابع به صورت زیر است

تبدیل لاپلاس این تابع a/(s² + a²) است و تابع متناظر f(k) = sin(akT). حال تبدیل Z این تابع به صورت زیر است

تبدیل لاپلاس این تابع s/(s² + a²) است و تابع متناظر f(k) = cos(akT). حال تبدیل Z این تابع به صورت زیر است

گاهی اوقات نیاز به نمونه‌برداری دوباره داده‌ها وجود دارد، که به معنای تبدیل داده‌های گسسته به شکل پیوسته است. می‌توان داده‌های دیجیتال سیستم کنترل را به شکل پیوسته با استفاده از مدارهای نگهداری که در زیر مورد بحث قرار می‌گیرند، تبدیل کرد:

مدارهای نگهداری: این مدارها داده‌های گسسته را به داده‌های پیوسته یا اصلی تبدیل می‌کنند. حال دو نوع مدار نگهداری وجود دارد که به طور دقیق توضیح داده می‌شوند:

مدار نگهداری مرتبه صفر

نمایش بلوکی مدار نگهداری مرتبه صفر به صورت زیر است:

شکل مربوط به مدار نگهداری مرتبه صفر.

در نمودار بلوک، یک ورودی f(t) به مدار داده شده است. وقتی اجازه می‌دهیم سیگنال ورودی از این مدار عبور کند، آن سیگنال را به شکل پیوسته تبدیل می‌کند. خروجی مدار نگهداری مرتبه صفر به صورت زیر نشان داده می‌شود.حال می‌خواهیم تابع انتقال مدار نگهداری مرتبه صفر را محاسبه کنیم. با نوشتن معادله خروجی خواهیم داشت

با در نظر گرفتن تبدیل لاپلاس معادله فوق خواهیم داشت

از معادله فوق می‌توانیم تابع انتقال را محاسبه کنیم

با جایگذاری s=jω می‌توانیم نمودار بود مدار نگهداری مرتبه صفر را رسم کنیم. نمایش الکتریکی مدار نگهداری مرتبه صفر به صورت زیر است که شامل یک نمونه‌بردار متصل به یک مقاومت است و این ترکیب با یک ترکیب موازی از مقاومت و خازن متصل می‌شود.

نمودار بود - نمودار پاسخ فازی مدار نگهداری مرتبه صفر

نمودار فاز - نمودار پاسخ فازی مدار نگهداری مرتبه صفر

مدار نگهداری مرتبه اول

نمایش بلوکی مدار نگهداری مرتبه اول به صورت زیر است:

مدار نگهداری مرتبه اول

در نمودار بلوک، یک ورودی f(t) به مدار داده شده است. وقتی اجازه می‌دهیم سیگنال ورودی از این مدار عبور کند، آن سیگنال را به شکل پیوسته تبدیل می‌کند. خروجی مدار نگهداری مرتبه اول به صورت زیر نشان داده می‌شود: حال می‌خواهیم تابع انتقال مدار نگهداری مرتبه اول را محاسبه کنیم. با نوشتن معادله خروجی خواهیم داشت

با در نظر گرفتن تبدیل لاپلاس معادله فوق خواهیم داشت

از معادله فوق می‌توانیم تابع انتقال را به صورت (1-e^(-sT))/s محاسبه کنیم. با جایگذاری s=jω می‌توانیم نمودار بود مدار نگهداری مرتبه صفر را رسم کنیم.

نمودار بود مدار نگهداری مرتبه اول به صورت زیر نشان داده می‌شود که شامل نمودار مقدار و نمودار زاویه فازی است. نمودار مقدار با مقدار ۲π/ωs شروع می‌شود.