Hay’s Bridge: 自己インダクタンスを測定する方法

自己インダクタンスとは？

自己インダクタンスは、コイルまたは回路がその内部を流れる電流の変化に対抗する性質を指します。これはヘンリー（H）で測定され、巻線数、コイルの面積と形状、コア材料の透磁率によって決まります。自己インダクタンスは、レンツの法則に従って電流の変化に対抗する自己起電力（emf）を生み出します。

品質係数とは？

品質係数は、特定の周波数でコイルまたは回路がどのように共振するかを示す無次元パラメータです。また、Q因子または優れた特性とも呼ばれます。これは、共振周波数でのコイルのリアクタンスを抵抗で割ることで計算されます。高いQ因子は低いエネルギー損失と鋭い共振を意味します。Q因子はまた、各周期あたりの蓄積エネルギーと放出エネルギーの比としても表現できます。

Hay’s Bridgeの構造

Hay’s bridgeの回路図は以下の通りです：

ブリッジはAB、BC、CD、DAの4つの腕で構成されています。腕ABには未知のインダクタL1と抵抗器R1が直列に接続されています。腕CDには標準キャパシタC4と抵抗R4が直列に接続されています。腕BCとDAには純粋な抵抗器R3とR2がそれぞれ接続されています。検出器またはガルバノメーターは点BとD間に接続され、バランス状態を示します。交流電源は点AとC間に接続され、ブリッジに供給されます。

Hay’s Bridgeの理論

Hay’s bridgeのバランス状態は、ABとCD間の電圧降下が等しく反対向きであり、BCとDA間の電圧降下が等しく反対向きであるときに達成されます。これにより、検出器を通る電流はなく、その偏角はゼロになります。

キルヒホッフの電圧法を使用して、バランス条件を以下のように書くことができます：

Z1Z4 = Z2Z3

ここで、Z1、Z2、Z3、Z4は4つの腕のインピーダンスです。

インピーダンスの値を代入すると、次のようになります：

(R1 – jX1)(R4 + jX4) = R2R3

ここで、X1 = 1/ωC1およびX4 = ωL4は、それぞれインダクタとキャパシタのリアクタンスです。

実部と虚部を展開し、等しくすることで、以下の式を得ることができます：

R1R4 – X1X4 = R2R3

R1X4 + R4X1 = 0

L1とR1を解くと、以下のようになります：

L1 = R2R3C4/(1 + ω2R42C4^2)

R1 = ω2R2R3R4C42/(1 + ω2R42C4^2)

コイルの品質係数は以下の式で与えられます：

Q = ωL1/R1 = 1/ωR4C4

これらの式は、L1とR1が電源の周波数ωに依存することを示しています。そのため、正確に測定するためには、ωの正確な値を知る必要があります。ただし、高品質係数のコイルの場合、分母の項1/ω2R42C4^2を無視し、式を以下のように簡略化することができます：

L1 ≈ R2R3C4

R1 ≈ ω2R2R3R4C42

Q ≈ 1/ωR4C4

Hay’s Bridgeのベクトル図

I1とI2の電流は、腕CDにキャパシタC4が存在するため位相が一致しません。I2はI1よりも角度φだけ先行します。電圧降下E1とE2は、それぞれ純粋な抵抗R1とR2の間にあるため、大きさと位相が等しいです。電圧降下E3とE4も、それぞれ純粋な抵抗R3とR4の間にあるため、大きさと位相が等しいです。電圧降下E5は、キャパシタC4の間にあるためE4に対して垂直です。電圧降下E6は、インダクタL1の間にあるためE1に対して垂直です。ベクトル図は、E6 + E5 = E3 + E4 = Eを示しています。

Hay’s Bridgeの利点