Az LC-kör (más néven LC-szűrő vagy LC-hálózat) olyan elektromos áramkör, amely passzív áramkör-elemekből áll, nevezetesen egy induktorból (L) és egy kapacitorból (C). Ezt gyakran rezgő áramkörnek, tank-áramkörnek vagy hangolt áramkörnek is nevezik.
Mivel az áramkör ideális formájában nincs ellenállás, az LC-kör nem fogyaszt energia. Ez ellentétben van az ideális RC-áramkörökkel, RL-áramkörökkel, vagy RLC-áramkörökkel, amelyek energiafogyasztása az ellenállás miatt történik.
Ennek ellenére a gyakorlati áramkörökben az LC-kör mindig fogyaszt energia, mivel a komponensek és a csatlakozó vezetékek ellenállása nem nulla.
A töltés visszafelé és előrefelé folyik a kondenzátor lemezei között és az induktoron keresztül. Az energia oszcillál a kondenzátor és az induktor között, amíg a komponensek belső ellenállása és a csatlakoztatási vezetékek miatt az oszcillációk el nem hanyagolhatóvá válnak.
Ez az áramkör működése hasonló a hangolt működéshez, matematikailag ismert mint harmonikus oszcillátor, ami hasonló a pendulum hegyezi egymást követő mozgásához vagy a víz visszafelé és előrefelé folyása egy tárban; ezért nevezik ezt az áramkört hangolt áramkörnek vagy tank-áramkörnek.
Az áramkör elektromos rezonátorként működhet, és energiát tárolhat az oszcilláló frekvencián, amit rezonáns frekvenciának nevezünk.
A soros LC áramkörben az induktor és a kondenzátor sorban vannak összekötve, ahogy a rajzon látható.
Mivel a soros áramkörben az áramerősség mindenhol ugyanaz, ezért az áramerősség azzal egyenlő, ami az induktor és a kondenzátoron áthalad.
Most az áramforrás két végpontján lévő teljes feszültség egyenlő a kondenzátoron és az indukcióra eső feszültségek összegével.
Amikor a frekvencia növekszik, a induktív reaktió nagysága is növekszik.
Ezért a kapacitív reaktió nagysága csökken.
Most rezonancia állapotban az induktív és kapacitív reaktancia nagysága egyenlővé válik.
Most egy impedancia a soros LC körben a következőképpen adott meg
Most rezonancia állapotban az induktív és kapacitív reaktancia nagysága egyenlővé válik.
Ahol,
a rezgő szögsebesség (radián másodpercenként).
Most a rezgő szögsebesség
, akkor az ellenállás
Így a rezgési feltétel mellett, amikor
a teljes elektromos ellenállás Z nulla lesz, ami azt jelenti, hogy XL és XC kiejtik egymást. Tehát, a soros LC áramkörbe adott áram maximum lesz (
).
Tehát a soros LC áramkör, amikor sorban van a terheléssel, mint egy szűrőáteresztő működik, amelynek null az ellenállása a rezgési frekvenciánál.
A rezonanciánál alacsonyabb frekvencián, azaz
,
. Tehát a kör kapacitív.
A rezonanciánál magasabb frekvencián, azaz
,
. Tehát a kör induktív.
A rezonanciafrekvencián, azaz
,
. A áram ebben az állapotban maximális, míg a tétel minimális. Ebben az állapotban a kör fogadóként működhet.
A párhuzamos LC körben az induktor és a kondenzátor párhuzamosan vannak összekötve, ahogy a rajz mutatja.
A párhuzamos áramkör különböző elemek közötti feszültség azonos. Tehát a végpontok közötti feszültség megegyezik az induktor és a kondenzátor közötti feszültséggel.
A párhuzamos LC-áramkörön átmenő teljes áramerősség egyenlő az induktoron és a kondenzátoron átmenő áramerősségek összegével.
A rezgési állapotban, amikor az induktív reaktanc (
) egyenlő a kapacitív reaktancsal (
), a reaktív ágok áramerősségei egyenlőek és ellentétesek. Így egymást kiejtik, ami minimális áramerősséget eredményez az áramkörben. Ebben az állapotban a teljes impedancia maximális.
A rezgéshőrfrekvencia a következőképpen adható meg
Egy párhuzamos LC kör impedanciája a következőképpen adható meg
A szögfrekvencia rezonancia értéke
, ekkor az impedancia
Így rezonancia esetén, amikor
az összes elektromos impedancia Z végtelen lesz, és a párhuzamos LC körbe áramló áram minimális (
).
Tehát a párhuzamos LC kör, amikor sorban van a terheléssel, szűrőként működik, amelynek impedanciája végtelen a rezonancia frekvencián. A párhuzamosan kapcsolt LC kör bandpass szűrőként viselkedik.
A rezonancia frekvencián alatti frekvencián, azaz f<f0, XL >> XC. Tehát a kör induktív.
A rezonancia frekvencián feletti frekvencián, azaz f>f0, XC >> XL. Tehát a kör kapacitív.
A rezonancia frekvencián, azaz f = f0, XL = XC, az áram minimális, az impedancia pedig maximális. Ebben az állapotban a kör szűrőként működhet.
Kezdeti feltétel esetén:
Oszcilláció esetén:
Az LC áramkör működhet elektrikai rezgőrendszerként, és az elektromos és mágneses mező között tárolt energia rezeg a rezonanciafrekvencián. Mivel bármely rezgéssel működő rendszer végül egy állapotban stabilizálódik, amit beállítási időnek nevezünk.
A válasz csökkenéséhez szükséges idő, amikor a rendszer stabilizálódik, és a végleges érték +- 2%-án belül marad, a beállítási idő.
Tegyük fel, hogy
a pillanatnyi áram, ami az áramkörön áthalad. Az induktív ellenálláson keresztül eső feszültség a következőképpen fejezhető ki az áram segítségével:
, míg a kondenzátoron keresztül eső feszültség
, ahol Q a kondenzátor pozitív lepkéjén tárolt töltés.
A Kirchhoff feszültség törvényének megfelelően egy zárt körben a komponensekön átmenő potenciálcsökkenések összege nulla.
Az előbbi egyenletet L-vel osztva és t szerint differenciálva kapjuk:
A mostegyszerű harmonikus rezgés esetén az áram a következő formában adható meg:
Ahol
és
állandók.
Helyettesítsük be az (5) egyenlet értékét az (4)-be, és kapjuk:
Tehát az előző egyenlet alapján azt mondhatjuk, hogy az LC kör egy rezgő kör, és egy olyan frekvencián rezeg, amit rezonzáns frekvenciának nevezünk.
Az (3) egyenlet szerint a l induktív elem által indukált feszültség ellentétes a kondenzátoron lévő feszültséggel.
Ha behelyettesítjük az (5) egyenletből származó áramerősség egyenletét, akkor kapjuk
Más szavakkal, a feszültség a maximumot éri, amikor az áramerősség nulla, és fordítva. A feszültségi rezgések amplitúdusa az áramerősség rezgései amplitúdusának
-szerese.
A bejövő feszültségtől a kondenzátoron lévő feszültségig mutató átviteli függvény a következő:
Hasonlóan, a bemeneti feszültségtől az indukcióra eső feszültségig vezető átmeneti függvény
Tegyük fel, hogy a kondenzátor kezdetben teljesen kitöltött, és a kapcsoló (K) hosszú ideig nyitva tartva van, majd t=0 időpontban bezárjuk.
t=0-kor – a K kapcsoló nyitva van
Ez egy kezdeti feltétel, ezért írhatjuk,
Mivel az indukcióban átmenő áram és a kondenzátoron keresztül haladó feszültség nem változhat meg pillanatnyilag.
Minden t>=0+ esetén a K kapcsoló zárva van
Most bevezetjük a feszültségi forrást a körbe. Ezért, ha alkalmazzuk a KVL-t (Kirchhoff Feszültség Törvényét) a körre, akkor a következőket kapjuk:
Itt a kondenzátoron keresztül haladó feszültséget áramerősség szerint fejezzük ki.
A fenti egyenlet integro-differenciálegyenletnek nevezik. Ha mindkét oldalt t szerint differenciáljuk, akkor a következőt kapjuk:
A (7) egyenlet másodrendű differenciálegyenletet jelöl egy LC körben.
Helyettesítsük
s2-vel, ekkor kapjuk:
Ez az egyenlet gyökei:
Itt
a természeti rezgési frekvencia.
Impedanciás módszerrel: A frekvenciaválasz rendszerének általános egyenlete
Tegyük fel, hogy a kimeneti feszültség a kondenzátor végközepeken jelenik meg, alkalmazzuk a potenciál-voltosztó szabályt a fenti körre
Ahol,
A kondenzátor impedanciája ![]()
Az induktív elem impedanciája ![]()
Helyettesítsük ezt az (9) egyenletbe, és kapjuk
Tegyük fel, hogy a kimeneti feszültség az indukcióban fordul elő, alkalmazzuk a potenciálosztó szabályt a fenti áramkörre
Helyettesítsük be a
és a
értékét a fenti egyenletbe, akkor kapjuk
Az (10) és (12) egyenlet a L-C kör frekvencia-válaszát komplex formában mutatja.
A fenti egyenlet integro-differenciálegyenletként ismert. Itt a kondenzátoron lévő feszültséget áram segítségével fejezzük ki.
Most, ha az egyenletet mindkét oldaláról t szerint deriváljuk, akkor kapjuk:
A fenti egyenlet az LC kör másodrendű differenciálegyenletét jelöli.
Helyettesítsük
-et s2-vel, így kapjuk:
Most,
tehát,
, ha ezt behelyettesítjük a fenti egyenletbe, akkor a következőt kapjuk:
Egy LC körben az induktív elem és a kondenzátor is tároló elemek, azaz az induktív elem energiát tárol amágneses mezőjében (B), attól függően, hogy átmenik rajta milyen nagy áram, míg a kondenzátor energiát tárol azelektromos mezőjében (E) a vezető lapok között, attól függően, hogy rajta milyen nagy feszültség van.
Tegyük fel, hogy kezdetben a kondenzátorban q töltés van, és ekkor a kör összes energiája kezdetben a kondenzátor elektromos mezőjében van tárolva. A kondenzátorban tárolt energia
Ha egy indukcióra csatlakoztatunk egy feltöltött kondenzátort, a kondenzátoron lévő feszültség áramot fog eredeztetni az indukcióban, ami mágneses mezőt hoz létre az indukció körül. A kondenzátor elkezdi a töltését elveszíteni, és a kondenzátoron lévő feszültség nulla lesz, amikor a töltés felhasználódik az áramfolyam miatt (
).
Ekkor a kondenzátor teljesen lebontva van, és az összes energia tárolva van az indukció mágneses mezőjében. Ebben a pillanatban az áramerősség maximális értékénél van, és az indukcióban tárolt energia (
.
Mivel nincs ellenállás, nincs energia diszipáció a körben. Így a kondenzátorban tárolt maximális energia megegyezik az indukcióban tárolt maximális energiával.
Ebben a pillanatban a mágneses mező körül tárolt energia indukálja a feszültséget a ciklusban a Faraday elektromágneses indukció törvénye szerint (
). Ez az indukált feszültség okozza, hogy áram fusson a kondenzátoron, és a kondenzátor kezd újra feltölteni ellentétes polaritású feszültséggel.
Ez a töltési és lebontási folyamat újraindul, ahol az áram az indukcióban ellentétes irányban folyik, mint korábban.
Így az LC kör töltése és üresítése ciklikus módon történhet, és az energia visszafelé és előrefelé oszcillál a kondenzátor és az indukció között, amíg a belső ellenállás nem csökkenti az oszcillációkat.
A kép a töltési és üresíti feszültség- és áram hullámformáját mutatja be.
Az LC kör alkalmazásai a következők:
Az LC kör alkalmazásai elsősorban számos elektronikus eszközben, különösen rádió berendezésekben, mint például a küldők, rádió fogadók, TV fogadók, erősítők, oszcillátorok, szűrők, hangszínbeállítók és frekvencia keverők.
Az LC körök használhatók adott frekvencián jelgeneráláshoz vagy egy összetettebb jelből adott frekvencián jelválasztáshoz.
Egy LC kör fő célja általában a minimális leresztléssel történő oszcillálás, így az ellenállást lehetőleg alacsonyra állítják.
A soros rezonancia kör feszültség-növelést biztosít.
A párhuzamos rezonancia kör áram-növelést biztosít.
A leresztlés az oszcilláció vagy hullámmozgás amplitúdójának csökkenése idővel. A rezonancia az amplitúdó növekedése, amint a leresztlés csökken.
Kijelentés: Tisztelet az eredetihez, a jó cikkek megosztásra méltók, ha sértést jelentenek, kérjük, lépjen kapcsolatba a törlés érdekében.